Numero di Strahler

Il numero di Strahler (o anche il grado di Strahler) di un'arborescenza^[1] è una misura numerica della sua complessità di ramificazione.

Classificazioni di reti idrografiche secondo Strahler.

Questa proprietà è utilizzata, per esempio, nella classificazione delle reti idrografiche dei corsi d'acqua per indicare il livello di complessità delle loro reti di affluenti e dei loro subaffluenti e in informatica, nella teoria della compilazione, per calcolare il numero di registri necessari al calcolo di un'espressione aritmetica^[2].

Le prime utilizzazioni di questo numero si trovano nelle opere di Robert E. Horton del 1945^[3], così come in quelli di Arthur Newell Strahler del 1952^[4] e del 1957^[5].

Definizione

Secondo la teoria dei grafi, si può attribuire un numero di Strahler a tutti i nodi di un albero, dalle estremità verso la radice, come segue:

1. se il nodo non è che l'estremità di uno spigolo/di un arco, senza altre connessioni (una foglia nella teoria dei grafi, o senza figli), il suo numero di Strahler è 1;
2. se il nodo ha un arco ramificato con numero di Strahler i e tutti gli altri archi ramificati con numero di Strahler inferiore a i, allora il numero di Strahler di questo nodo è ancora i;
3. se il nodo ha almeno due archi ramificati con numero di Strahler i e nessun arco ramificato con un numero più grande, allora il numero di Strahler di questo nodo è i + 1.

Il numero di Strahler di un'arborescenza è un numero puro ed è il numero di Strahler del suo nodo radice.

Tutti i nodi aventi il numero di Strahler i devono dunque avere almeno:

• due archi ramificati discendenti con un numero di Strahler i - 1;
• quattro discendenti con un numero di Strahler i - 2 (etc.);
• 2^{(i - 1)} «foglie» discendenti.

Di conseguenza, in un albero con n nodi, il più grande numero di Strahler possibile è la parte intera di log₂ (n). Tuttavia, a meno che l'albero non formi un albero binario completo, il numero di Strahler sarà inferiore a questo massimo. In un albero binario a n nodi, scelto uniformemente a caso tra tutti gli alberi binari possibili, l'indice previsto della radice è, con elevata probabilità, molto vicino al log₄ (n).

Esempi

In idrografia

Il numero di Strahler è 1 per tutti i corsi d'acqua tra la loro sorgente e la loro prima confluenza^[6]. La radice dei corsi d'acqua è sia la confluenza ove questi corsi d'acqua perdono il loro nome, sia la loro foce. L'ordine di un bacino versante è quello del suo corso d'acqua principale^[6]. La classificazione può dipendere dalla scala della carta utilizzata^[7][8].

La classificazione dei corsi d'acqua con il numero di Strahler è molto significativa per stabilire la struttura e la densità della rete idrografica^[9]. Essa riflette la variabilità delle situazioni geografiche (esempio: secondo la permeabilità del substrato roccioso del bacino versante) e pluviometriche per il suo stretto legame con la quantità d'acqua trasportata in superficie durante i periodi di grande portata^[9].

Il numero di Strahler riguarda:

Valore alla foce dei corsi d'acqua

Nome	Numero
Fiume	Strahler[10]	Steven E. Shreve
Rio delle Amazzoni	12	Almeno 29
Nilo	10	Almeno 22
Mississippi	10	Almeno 23
Ienissei	8	Almeno 18
Congo	7	Almeno 18
Mekong	7	Almeno 19
Indo	7	Almeno 19
Tamigi	5	Almeno 11
Danubio	6	Almeno 15
Tevere	5	Almeno 9
Reno	7	Almeno 18
Aar	6	Almeno 17
Oise	6	Almeno 16
Marna	5	Almeno 14
Lot	5	Almeno 13
Loira	8	Almeno 16
Senna	7	Almeno 16
Garonna	9	Almeno 16
Dordogna	7	Almeno 14
Adour	7	Almeno 14
Mosa	7	Almeno 14
Rodano	9	Almeno 20

In informatica

Nella compilazione di un programma d'un linguaggio di elevato livello in assemblatore, il numero minimo di registri necessari per valutare l'albero d'una espressione, è esattamente il numero di Strahler di quest'albero.^[11][12]