Operatore lineare chiuso

In matematica, e più specificatamente in analisi funzionale, gli operatori lineari chiusi sono un'importante classe di operatore lineari su uno spazio di Banach. Essi sono più generali degli operatori lineari limitati, e quindi non sono necessariamente continui, ma hanno lo stesso proprietà interessanti per definire lo spettro e (sotto certe assunzioni) un calcolo funzionale per tali operatori. Molti operatori lineari importanti che non sono limitati sono chiusi, come l'operatore derivata e la grande classe degli operatori differenziali, per esempio in meccanica quantistica l'operatore momento e l'operatore posizione.

Definizione

Sia ${\displaystyle B}$ uno spazio di Banach. Un operatore lineare:

${\displaystyle A\colon {\mathcal {D}}(A)\subset B\to B}$

è detto chiuso se per ogni successione ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ in ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)}$ convergente a ${\displaystyle x\in B}$ tale che:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }Ax_{n}=y\in B\ }$

si ha che ${\displaystyle x\in {\mathcal {D}}(A)}$ e che:

${\displaystyle Ax=y\ }$

In modo equivalente, ${\displaystyle A}$ è chiuso se il suo grafico è chiuso in ${\displaystyle X\oplus Y}$.^[1]

Dato un operatore ${\displaystyle A}$, se la chiusura del suo grafico in ${\displaystyle X\oplus Y}$ è il grafico di un qualche operatore ${\displaystyle {\overline {A}}}$ allora ${\displaystyle {\overline {A}}}$ è la chiusura di ${\displaystyle A}$, e ${\displaystyle A}$ è detto chiudibile. ${\displaystyle A}$ è quindi chiudibile se è la restrizione di un operatore chiuso ${\displaystyle {\overline {A}}}$ al dominio ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)}$ di ${\displaystyle A}$.

Proprietà

• Per il teorema del grafico chiuso, ogni operatore chiuso definito su tutto lo spazio ${\displaystyle X}$ è limitato.

• Se ${\displaystyle A}$ è chiuso allora ${\displaystyle A-\lambda I}$ è chiuso, dove ${\displaystyle \lambda }$ è uno scalare e ${\displaystyle I}$ l'identità.

• Se ${\displaystyle A}$ è chiuso, allora il suo nucleo è un sottospazio chiuso di ${\displaystyle X}$.

• Se ${\displaystyle A}$ è chiuso e iniettivo, allora il suo inverso ${\displaystyle A^{-1}}$ è chiuso.

• Un operatore ${\displaystyle A}$ ammette una chiusura se e solo se per ogni coppia di successioni ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ e ${\displaystyle \{y_{n}\}}$ in ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)}$ convergenti a ${\displaystyle x}$ e tali che sia ${\displaystyle \{Ax_{n}\}}$ che ${\displaystyle \{Ay_{n}\}}$ convergono, si ha:

${\displaystyle \lim _{n}Ax_{n}=\lim _{n}Ay_{n}\ }$