Sistema pi

In matematica, un sistema pi, o anche ${\displaystyle \pi \;}$-sistema, su un insieme ${\displaystyle \Omega \;}$ è una famiglia P non vuota di sottoinsiemi di ${\displaystyle \Omega \;}$ (ovvero ${\displaystyle P\subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}$), tale che l'intersezione di due elementi (e quindi di un numero finito di elementi) di P è ancora in P; ovvero P è stabile per intersezioni finite.

Proprietà

• Se A è un'algebra di insiemi (in particolare se è una σ-algebra), allora A è un ${\displaystyle \pi \;}$-sistema.
• Se A è un ${\displaystyle \pi \;}$-sistema che è anche un sistema Dynkin, allora A è una σ-algebra.

Unicità dell'estensione

Una misura finita è determinata unicamente dai suoi valori su di un ${\displaystyle \pi \;}$-sistema, come afferma la seguente proposizione. Siano ${\displaystyle \mu \;}$ e ${\displaystyle \nu \;}$ misure su uno spazio misurabile ${\displaystyle (X,\Sigma )\;}$ e sia ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ un ${\displaystyle \pi \;}$-sistema che generi ${\displaystyle \Sigma \;}$. Se

• ${\displaystyle \mu (X)=\nu (X)<\infty }$

• ${\displaystyle \mu |_{\mathcal {I}}=\nu |_{\mathcal {I}}}$

allora ${\displaystyle \mu =\nu \;}$

Bibliografia

• Allan Gut, Probability: A Graduate Course, New York, Springer, 2005, DOI:10.1007/b138932, ISBN 0-387-22833-0.
• David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 2007, ISBN 0-521-40605-6.

Voci correlate

• Lemma di Dynkin

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