Polinomio caratteristico

In algebra lineare il polinomio caratteristico di una matrice quadrata su un campo è un polinomio definito a partire dalla matrice che ne descrive molte proprietà essenziali.

Il polinomio caratteristico è un oggetto che dipende solo dalla classe di similitudine di una matrice, e pertanto fornisce molte informazioni sulla natura intrinseca delle trasformazioni lineari, caratterizzate attraverso la traccia e il determinante. In particolare, le radici del polinomio sono gli autovalori della trasformazione lineare associata alla matrice. I coefficienti del polinomio sono pertanto detti invarianti della matrice e dell'applicazione ad essa associata.

Il polinomio è anche utilizzato per determinare la forma canonica di luoghi geometrici esprimibili mediante matrici, come coniche e quadriche.

Definizione

Sia ${\displaystyle A}$ una matrice quadrata a valori in un campo ${\displaystyle K}$. Il polinomio caratteristico di ${\displaystyle A}$ nella variabile ${\displaystyle x}$ è il polinomio definito nel modo seguente:^[1]

${\displaystyle p_{A}(x)=\det(A-xI),}$

cioè è il determinante della matrice ${\displaystyle A-xI}$, ottenuta sommando ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle -xI}$. Qui ${\displaystyle I}$ denota la matrice identità, avente la stessa dimensione di ${\displaystyle A}$, e quindi ${\displaystyle -xI}$ è la matrice diagonale avente il valore ${\displaystyle -x}$ su ciascuna delle ${\displaystyle n}$ caselle della diagonale principale.

In particolare, ${\displaystyle x}$ è autovalore di ${\displaystyle A}$ se e solo se è radice del suo polinomio caratteristico.^[2]

Grado e coefficienti del polinomio

Sia ${\displaystyle A}$ una matrice quadrata di ordine ${\displaystyle n}$. Il polinomio caratteristico di ${\displaystyle A}$ ha grado ${\displaystyle n}$. Alcuni dei suoi coefficienti sono (a meno di segno) quantità notevoli per la matrice, come la traccia ed il determinante:

${\displaystyle p_{A}(x)=(-1)^{n}x^{n}+(-1)^{n-1}\mathrm {tr} (A)x^{n-1}+\ldots +\det A.}$

Il coefficiente di ${\displaystyle x^{k}}$ del polinomio è la somma moltiplicata per ${\displaystyle (-1)^{k}}$ dei ${\displaystyle {n \choose k}}$ determinanti dei minori ${\displaystyle (n-k)\times (n-k)}$ "centrati" sulla diagonale.

Ad esempio, se ${\displaystyle A}$ è una matrice 2 per 2 si ha:

${\displaystyle p_{A}(x)=x^{2}-{\textrm {tr}}(A)x+\det A.}$

Autovalori

Lo stesso argomento in dettaglio: Autovettore e autovalore.

Le radici in ${\displaystyle K}$ del polinomio caratteristico sono gli autovalori di ${\displaystyle A}$.^[2]

Questo si dimostra formalmente ponendo ${\displaystyle v}$ autovettore di ${\displaystyle A}$. Si ha allora ${\displaystyle Av=\lambda v}$, ed in particolare:

${\displaystyle (A-\lambda I)v=0.}$

Si ha quindi che il nucleo dell'applicazione ${\displaystyle (A-\lambda I)}$ è non nullo se ${\displaystyle \lambda }$ è autovalore, e tale condizione è soddisfatta se e solo se:

${\displaystyle \det(A-\lambda I)=0.}$

Se ${\displaystyle A}$ è una matrice triangolare (superiore o inferiore) avente i valori ${\displaystyle a_{1,1},\ldots ,a_{n,n}}$ sulla diagonale principale, allora:

${\displaystyle p_{A}(x)=(a_{1,1}-x)\cdots (a_{n,n}-x).}$

Quindi il polinomio caratteristico di una matrice triangolare ha ${\displaystyle n}$ radici nel campo, date dai valori nella diagonale principale. In particolare, questo fatto è vero per le matrici diagonali.

Invarianza per similitudine e diagonalizzabilità

Lo stesso argomento in dettaglio: Diagonalizzabilità e Similitudine fra matrici.

Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico.^[3] Infatti, se:

${\displaystyle A=M^{-1}BM}$

per qualche matrice invertibile ${\displaystyle M}$, si ottiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}(x)&=\det(A-xI)=\det(M^{-1}BM-xI)\\&=\det(M^{-1}BM-xM^{-1}M)=\det(M^{-1}BM-M^{-1}(xI)M)=\det(M^{-1}(B-xI)M)\\&=\det(M^{-1})\det(B-xI)\det M=(\det M)^{-1}p_{B}(x)\det M=p_{B}(x).\end{aligned}}}$

In tale catena di uguaglianze si fa uso del fatto che la matrice della forma ${\displaystyle xI}$ commuta con qualsiasi altra e del teorema di Binet (con l'accortezza di averne dimostrato una versione che funziona per matrici a coefficienti nell'anello dei polinomi a coefficienti nel campo)^[4].

Poiché due matrici che rappresentano un endomorfismo ${\displaystyle T}$ di uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ a dimensione finita sono simili, il polinomio caratteristico è una grandezza intrinseca di ${\displaystyle T}$ che riassume molte delle caratteristiche dell'endomorfismo considerato, come traccia, determinante ed autovalori. Come conseguenza di questo fatto si ha che ${\displaystyle T}$ è diagonalizzabile se esiste una base di ${\displaystyle V}$ rispetto alla quale la matrice che rappresenta ${\displaystyle T}$ è diagonale, e gli elementi della diagonale sono gli autovalori.^[5] In particolare, la base che diagonalizza ${\displaystyle T}$ è composta da suoi autovettori.

Il teorema di diagonalizzabilità fornisce, inoltre, un criterio necessario e sufficiente che permette di stabilire se un'applicazione lineare è diagonalizzabile. Una matrice quadrata ${\displaystyle A}$ con ${\displaystyle n}$ righe è diagonalizzabile se e solo se valgono entrambi i fatti seguenti:

• La somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è ${\displaystyle n}$, ossia il polinomio caratteristico può essere fattorizzato nel campo attraverso polinomi di primo grado.
• Le molteplicità algebriche e geometriche di ogni autovalore sono coincidenti, ossia la dimensione degli autospazi è uguale alla molteplicità con la quale il relativo autovalore è radice del polinomio caratteristico. Poiché la molteplicità geometrica è sempre minore o uguale di quella algebrica, se l'applicazione ha ${\displaystyle n}$ autovalori distinti nel campo, allora è diagonalizzabile.

Invarianza per trasposizione

La matrice trasposta ${\displaystyle A^{t}}$ ha lo stesso polinomio caratteristico di ${\displaystyle A}$. Infatti

${\displaystyle p_{A^{t}}(x)=\det(A^{t}-xI)=\det(A^{t}-xI^{t})=\det((A-xI)^{t})=\det(A-xI)=p_{A}(x).}$

Qui si fa uso del fatto che il determinante è invariante per trasposizione.

Esempi

• Data:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&3\\0&4\end{pmatrix}},}$

allora:

${\displaystyle A-xI={\begin{pmatrix}1&3\\0&4\end{pmatrix}}-x{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1-x&3\\0&4-x\end{pmatrix}}}$

e quindi:

${\displaystyle p_{A}(x)=\det(A-xI)=(1-x)(4-x).}$

Gli autovalori di ${\displaystyle A}$ sono le radici del polinomio: 4 e 1.

• Data:

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}2&\pi &0\\-1&-3&5\\0&4&3\end{pmatrix}}}$

in modo analogo si trova:

${\displaystyle p_{B}(x)=-x^{3}+2x^{2}+(29-\pi )x-(58-3\pi ).}$