Principio di minima azione

Il principio di minima azione (o più generalmente principio di azione stazionaria) è un principio variazionale a partire dal quale si determina l'equazione del moto di un sistema dinamico. Più precisamente, se un sistema è olonomo e monogenico allora è possibile derivare dal principio le equazioni di Lagrange.^[1]

Il nome deriva storicamente dall'osservazione che in meccanica newtoniana nei fenomeni della natura l'azione viene sempre minimizzata, anche se la condizione di punto stazionario è sufficiente.

Esempi classici

Tra gli esempi più noti vi sono:

• il principio di Maupertuis, che impone la condizione di minimo all'integrale dell'azione ridotta sulla traiettoria reale.
• il principio variazionale di Hamilton, che riguarda la stazionarietà dell'integrale d'azione nella traiettoria reale del moto.

Formulazione moderna

Detta ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ l'azione, il principio di minima azione stabilisce che ad una leggera perturbazione della reale evoluzione del sistema tra due istanti di tempo ${\displaystyle t_{1}}$ e ${\displaystyle t_{2}}$ corrisponde un cambiamento al secondo ordine dell'azione ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, ovvero nell'intervallo di tempo considerato si ha un punto stazionario (solitamente un punto di minimo):^[2][3][4]

${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0}$

dove ${\displaystyle \delta }$ indica un "piccolo" cambiamento. Esplicitamente:

${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)\;\mathrm {d} t=0}$

con ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ la lagrangiana.