Prodotto amalgamato

In algebra il prodotto amalgamato di due gruppi ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle H}$ è un gruppo costruito a partire da questi "identificando" due particolari sottogruppi.

Il prodotto amalgamato è strettamente connesso con un'operazione analoga usata frequentemente in topologia. L'operazione consiste nella costruzione di uno spazio topologico a partire da due spazi dati, ottenuta identificando due particolari sottospazi.

La connessione fra le due operazioni è fornita dal teorema di Van Kampen.

Definizione

Siano ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle H}$ due gruppi. Sia ${\displaystyle F}$ un altro gruppo e

${\displaystyle \varphi :F\rightarrow G,\quad \psi :F\rightarrow H.}$

due omomorfismi.

Il prodotto amalgamato di ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle H}$ (rispetto a ${\displaystyle \varphi }$ e ${\displaystyle \psi }$) è il gruppo

${\displaystyle (G*H)/N}$

ottenuto come gruppo quoziente del prodotto libero ${\displaystyle G*H}$ per il sottogruppo normale ${\displaystyle N}$ generato da tutte le parole (di due lettere) del tipo

${\displaystyle \varphi (f)\psi (f)^{-1}}$

al variare di ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle F}$.

Voci correlate

• Prodotto libero
• Teorema di Van Kampen

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