Proiezione stereografica

In geometria e in cartografia per proiezione stereografica si intende la proiezione dei punti sulla superficie di una sfera da un punto N della sfera stessa (che spesso viene chiamato polo Nord della sfera) sopra un piano che è, solitamente, o il piano equatoriale, o il tangente alla sfera nel suo punto (antipodale ad N) chiamato S, polo Sud.

Proiezione stereografica

La proiezione stereografica con l'indicatore di deformazione di Tissot

Questa proiezione determina una corrispondenza biunivoca tra i punti della sfera privata di N e i punti del piano. Questa può estendersi ad una corrispondenza biunivoca tra punti della sfera e i punti del piano ampliato con un punto all'infinito: basta far corrispondere a questo il polo Nord.

Questa proiezione associa alle circonferenze ottenute intersecando la sfera con piani paralleli a quello tangente in S delle circonferenze del piano aventi centro in S. Unico punto fisso della proiezione è S, punto limite delle circonferenze precedenti.

In cartografia una proiezione stereografica della Terra è detta polare, equatoriale o obliqua in funzione della scelta del punto di proiezione (un polo, un punto sull'equatore, o altrove).

Definizione

Panorama con proiezione stereografica della cima Dent de Vaulion nel Canton Vaud, Svizzera

La sfera unitaria nello spazio tridimensionale ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ è l'insieme dei punti ${\displaystyle (x,y,z)}$ tali che ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$. Sia ${\displaystyle N=(0,0,1)}$ il "polo nord", e sia ${\displaystyle M}$ il resto della sfera. Il piano ${\displaystyle z=0}$ passa per il centro della sfera; "l'equatore" è l'intersezione della sfera con questo piano.

Per ogni punto ${\displaystyle P}$ su ${\displaystyle M}$, esiste un'unica retta passante per ${\displaystyle N}$ e ${\displaystyle P}$, e questa retta interseca il piano ${\displaystyle z=0}$ in un unico punto ${\displaystyle P'}$. Si dice proiezione stereografica di ${\displaystyle P}$ questo punto ${\displaystyle P'}$ nel piano.

Esprimiamo la proiezione stereografica in formule esplicite. In coordinate cartesiane ${\displaystyle P=(x,y,z)}$ sulla sfera e ${\displaystyle P'=(X,Y)}$ sul piano, la proiezione e la sua inversa sono date dalle formule

${\displaystyle (X,Y)=\left({\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right),}$

${\displaystyle (x,y,z)=\left({\frac {2X}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {2Y}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {-1+X^{2}+Y^{2}}{1+X^{2}+Y^{2}}}\right).}$

Proprietà

Ipparco di Nicea mostrò che la proiezione stereografica è una proiezione conforme (mantiene gli angoli, cioè ha modulo di deformazione lineare costante e modulo di deformazione angolare nullo) e che l'immagine di una circonferenza può essere solo una retta o una circonferenza.^[1]