Quadrivelocità

In fisica, in particolare nella teoria della relatività ristretta e in relatività generale, la quadrivelocità di un oggetto è un quadrivettore, ambientato nello spaziotempo di Minkowski, che generalizza la velocità tridimensionale definita nella meccanica classica. Si tratta di una grandezza cinematica tale per cui la velocità della luce è costante in ogni sistema di riferimento inerziale.

Definizione

Nello spaziotempo di Minkowski l'evoluzione delle coordinate spaziali di un oggetto nel tempo è descritta da una curva, che è parametrizzata dal tempo proprio. La quadrivelocità è il vettore che ha per componenti la variazione delle coordinate spaziali e temporali rispetto al tempo proprio. La sua norma, invariante per trasformazioni di Lorentz, è solitamente posta uguale alla velocità della luce ${\displaystyle c}$ (esso ha quindi solo direzione variabile).

Esplicitamente, la quadrivelocità è definita come il vettore:^[1]

${\displaystyle v^{\mu }=\gamma \left(c,\mathbf {v} \right)}$

dove ${\displaystyle \gamma }$ è il fattore di Lorentz:

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\|\mathbf {v} \|^{2}}{c^{2}}}}}}}$

con ${\displaystyle \|\mathbf {v} \|}$ la norma euclidea della velocità classica ${\displaystyle \mathbf {v} }$.

Derivazione

In meccanica classica la traiettoria di un oggetto è descritta in tre dimensioni dalle sue coordinate ${\displaystyle x_{i}(t)}$, con ${\displaystyle i\in \{1,2,3\}}$, espresse in funzione del tempo ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle \mathbf {x} =\left(x_{i}(t)\right)={\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\x_{3}(t)\\\end{bmatrix}}}$

dove ${\displaystyle x_{i}(t)}$ è l'i-esima componente della posizione al tempo ${\displaystyle t}$. Le componenti della velocità ${\displaystyle {\mathbf {v} }}$ nel punto ${\displaystyle p}$ tangente alla traiettoria sono:

${\displaystyle {\mathbf {v} }={\mathrm {d} \mathbf {x} \over \mathrm {d} t}=\left({\mathrm {d} x_{i} \over \mathrm {d} t}\right)=\left({\frac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x_{2}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x_{3}}{\mathrm {d} t}}\right)}$

dove le derivate sono valutate in ${\displaystyle p}$.

Nello spaziotempo di Minkowski le coordinate sono ${\displaystyle x^{\mu }(\tau )}$, con ${\displaystyle \mu \in \{0,1,2,3\}}$, in cui ${\displaystyle x_{0}}$ è la componente temporale moltiplicata per c. La parametrizzazione avviene inoltre in funzione del tempo proprio ${\displaystyle \tau }$:

${\displaystyle x^{\mu }(\tau )={\begin{bmatrix}x_{0}(\tau )\\x_{1}(\tau )\\x_{2}(\tau )\\x_{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ct\\x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\x_{3}(t)\\\end{bmatrix}}}$

Considerando il fenomeno detto dilatazione dei tempi:

${\displaystyle t=\gamma \tau \,}$

la quadrivelocità relativa a ${\displaystyle \mathbf {x} (\tau )}$ è definita come:

${\displaystyle v^{\mu }={\frac {\mathrm {d} x^{\mu }(\tau )}{\mathrm {d} \tau }}}$

Componenti

La relazione tra ${\displaystyle t}$ e ${\displaystyle x_{0}}$ è data da

${\displaystyle x_{0}=ct=c\gamma \tau \,}$

Effettuando la derivata rispetto al tempo proprio ${\displaystyle \tau \,}$ si ottiene la componente ${\displaystyle v^{\mu }}$ per ${\displaystyle \mu =0}$:

${\displaystyle v_{0}={\frac {\mathrm {d} x_{0}}{\mathrm {d} \tau \;}}=c\gamma }$

Utilizzando la regola della catena, per ${\displaystyle \mu =i=1,2,3}$ si ha:

${\displaystyle v_{i}={\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}{\frac {\mathrm {d} x_{0}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} x_{0}}}c\gamma ={\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} (ct)}}c\gamma ={1 \over c}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} t}}c\gamma =\gamma {\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} t}}=\gamma v_{i}}$

dove si è sfruttato il fatto che in meccanica classica:

${\displaystyle v_{i}={dx_{i} \over dt}}$

La quadrivelocità è pertanto:

${\displaystyle v^{\mu }=\gamma \left(c,\mathbf {v} \right)}$

Norma

Per calcolare la norma che è costante, prendiamo il seguente caso: sistema a riposo ${\displaystyle \gamma =1}$ e ${\displaystyle \mathbf {v} =0}$, pertanto ${\displaystyle v^{\mu }=(c,0,0,0)}$ e la direzione del vettore è l'asse temporale.

Si ha:

${\displaystyle v_{\mu }v^{\mu }=c^{2}}$

se la segnatura della metrica di Minkowski è ${\displaystyle (-1,1,1,1)}$:

${\displaystyle v_{\mu }v^{\mu }=-c^{2}}$

e inoltre:

${\displaystyle \|v^{\mu }\|={\sqrt {|v_{\mu }v^{\mu }|}}=c}$

La norma della quadrivelocità è dunque pari alla velocità della luce. La norma della trivelocità ${\displaystyle \mathbf {v} }$ non è ovviamente un invariante (tranne il caso in cui ${\displaystyle \mathbf {v} =c}$). Differenziando, nella trivelocità ${\displaystyle \mathbf {v} }$, una componente di trascinamento, ${\displaystyle v_{0}}$, e una componente riferita al sistema in moto, ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$, si può calcolare la diminuzione di ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$quando essa è misurata nel sistema in quiete.