Scala (grafo)

Nell'ambito matematico della teoria dei grafi, un grafo a scala, denotato con ${\displaystyle L_{n}}$, è un grafo planare non orientato avente 2n vertici e 3n-2 spigoli.^[1]

Il grafo è scala può essere costruito ed espresso come il prodotto cartesiano di due grafi lineari, dei quali almeno uno ha un unico bordo. In simboli, si ha: ${\displaystyle L_{n,1}=P_{n}xP_{2}}$.^[2][3]

Proprietà

Per costruzione, il grafo a scala è isomorfo al grafo a griglia ${\displaystyle G_{2,n}}$ e appare con la forma di una scala di n gradini. È un cammino hamiltoniano avente:

• calibro pari a 4, se ${\displaystyle n>1}$ (caso del grafo a scala non degenere);
• indice cromatico uguale a 3, se ${\displaystyle n>2}$.

Il numero cromatico del grafo a scala è 2, mentre il polinomio cromatico è ${\displaystyle (x-1)x(x^{2}-3x+3)^{(n-1)}}$.

I grafi a scala L₁, L₂, L₃, L₄ e L₅

• 
  Il numero cromatico del grafo a scala è 2

Ladder rung graph

Talora, l'espressione "grafo a scala" indica il grafo a scala di livello (ladder rung graph, LR) denotato con ${\displaystyle nxP_{2}}$, poiché è l'unione grafica di n copie del grafo lineare P₂:

I grafi a scala di livelloLR₁, LR₂, LR₃, LR₄ e LR₅. Rispetto ai corrispondenti grafi a scala differiscono per l'assenza dei bordi verticali destri e sinistro.

Grafo a scala circolare

Il grafo a scala circolare (in inglese: Circular ladder graph) CL_n può essere costruito dalla connessione in modo perpendicolare di 4 vertici di 2 gradi ciascuno (cioè associati a due spigoli), oppure dal prodotto cartesiano di un grafo completo di due vertici con un ciclo di n vertici (in simboli: CL_n = K_n × C_n)^[4], ovvero di un grafo ciclo di lunghezza n≥3 con uno lineare (in simboli: CL_n = C_n × P₂).^{[senza fonte]}
Esso ha 2n vertici e 3n spigoli.

Come gli altri grafi a scala, è un connesso e planare, un cammino hamiltoniano, con la differenza che è un bipartito se e solo se n è pari. I grafi a scala circolare sono grafi poliedrici di prismi e pertanto sono comunemente chiamati grafi prismi.
Esempi di grafi a scala circolari sono i seguenti.

CL3

CL4

CL5

CL6

CL7

CL8

Scala di Möbius

Se i quattro vertici di due gradi ciascuno vengono connessi in modo trasversale, si ottiene un tipo di grafo cubico chiamato (grafo a) scala di Möbius:

Due viste della scala di Möbius M₁₆ .