Sigma additività

In matematica, l'additività e σ-additività (sigma additività) di una funzione definita su dei sottoinsiemi di un insieme dato sono astrazioni delle proprietà della misura (lunghezza, area, volume) di un insieme: la "misura" dell'unione di due insiemi disgiunti non è altro che la somma delle due misure singole.

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Disambiguazione – Se stai cercando l'additività in teoria dei numeri, vedi Funzione additiva.

Definizioni

Sia ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ un'algebra di insiemi. Una funzione ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {A}}\to [-\infty ,\infty ]}$ (vedi retta reale estesa) è detta (finitamente) additiva se, ${\displaystyle \forall \,A,B\in {\mathcal {A}}}$ disgiunti si ha:

${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)}$

La funzione è detta numerabilmente additiva o σ-additiva se per ogni successione ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots {},A_{n},\dots {}\in {\mathcal {A}}}$ tra loro disgiunti e tali che la loro unione numerabile stia ancora in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ si ha:^[1]

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$

Ogni funzione σ-additiva è una funzione (finitamente) additiva, ma non vale il contrario.

Proprietà

Come conseguenza della definizione si ha che una funzione additiva non può assumere sia ${\displaystyle -\infty }$ che ${\displaystyle +\infty }$ come valori, perché l'espressione ${\displaystyle \infty -\infty }$ è indefinita. Si può dimostrare per induzione matematica che una funzione additiva soddisfa:

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu (A_{n})}$

per ogni collezione finita ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots {},A_{n}}$ di insiemi disgiunti in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Utili proprietà di una funzione additiva ${\displaystyle \mu }$ sono:

• ${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$.
• Se ${\displaystyle \mu }$ è non negativa (cioè ${\displaystyle \forall \,E\in {\mathcal {A}}\;\;\mu (E)\geq 0}$) e ${\displaystyle A\subset B}$, allora ${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B)}$.
• Se ${\displaystyle A\subset B}$ allora ${\displaystyle \mu (B-A)=\mu (B)-\mu (A)}$.
• Dati ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B)}$.

Esempi

Un esempio di funzione σ-additiva è la funzione ${\displaystyle \mu }$ definita sull'insieme delle parti dei numeri reali, tale che:

${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ se }}0\in A\\0&{\mbox{ se }}0\notin A\end{cases}}}$