Unione (insiemistica)

In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, esiste un'operazione detta unione (simbolo ${\displaystyle \cup }$) di insiemi. Il simbolo ${\displaystyle \cup }$ deriva da U, l'iniziale della parola "unione".^[1] Dati due insiemi ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, la loro unione è un insieme formato da tutti e soli gli elementi che appartengono:

• al solo insieme ${\displaystyle A}$,
• al solo insieme ${\displaystyle B}$,
• a entrambi.

L'unione è un'operazione binaria. Nell'algebra booleana corrisponde all'operatore OR; in logica, corrisponde alla disgiunzione inclusiva.

Definizione

L'unione di due insiemi ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ si denota comunemente con ${\displaystyle A\cup B}$. Si ha che ${\displaystyle x}$ è un elemento di ${\displaystyle A\cup B}$ se e solo se ${\displaystyle x}$ è un elemento di almeno uno degli insiemi ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, in simboli:

${\displaystyle (x\in A\cup B)\Leftrightarrow (x\in A\vee x\in B).}$

L'unione di due o più insiemi è detta disgiunta se gli insiemi, presi a due a due, hanno intersezione vuota. In generale, data un'arbitraria famiglia ${\displaystyle \{A_{\alpha },\,\alpha \in {\mathcal {I}}\}}$ di insiemi, l'unione è definita come l'insieme ${\displaystyle \displaystyle \bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}A_{\alpha }}$ a cui un elemento ${\displaystyle x}$ appartiene se e solo se appartiene ad almeno uno degli ${\displaystyle A_{\alpha }}$.

Esempi

Ad esempio si possono considerare due insiemi finiti, un insieme con un numero finito di elementi: ${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$ e ${\displaystyle B=\{2,3,4\}}$. In questo caso si ottiene l'unione prendendo gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi:

${\displaystyle A\cup B=\{1,2,3,4\}.}$

Un altro esempio è dato da due insiemi definiti mediante una proprietà dei loro elementi: Siano:

• ${\displaystyle A}$ l'insieme dei numeri interi divisibili per ${\displaystyle 4}$,
• ${\displaystyle B}$ l'insieme dei numeri interi divisibili per ${\displaystyle 6}$.

${\displaystyle A\cup B}$ è l'insieme dei numeri interi divisibili per ${\displaystyle 4}$ e/o per ${\displaystyle 6}$.

Proprietà

L'unione di due insiemi

Unione di una sfera e un cubo parzialmente sovrapposti

L'unione è un'operazione commutativa, in simboli:

${\displaystyle A\cup B=B\cup A.}$

Infatti

${\displaystyle x\in A\cup B\Leftrightarrow x\in A\vee x\in B\Leftrightarrow x\in B\vee x\in A\Leftrightarrow x\in B\cup A.}$

L'unione è un'operazione associativa:

${\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C).}$

Infatti

${\displaystyle x\in (A\cup B)\cup C\Leftrightarrow x\in A\cup B\vee x\in C\Leftrightarrow x\in A\vee x\in B\vee x\in C\Leftrightarrow x\in A\vee x\in B\cup C\Leftrightarrow x\in A\cup (B\cup C).}$

Per questo si può rinunciare alle parentesi quando si considera l'unione di più di due insiemi, scrivendo ${\displaystyle A\cup B\cup C.}$

Storia

Il simbolo ∪, così come ad esempio anche i simboli ∈, ∩, ⊂, venne introdotto per la prima volta da Giuseppe Peano nel Formulario mathematico, opera pubblicata nel 1895.