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Spirale archimedea

tipo di curva piana Da Wikipedia, l'enciclopedia libera

Spirale archimedea
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Una spirale archimedea o spirale di Archimede, così chiamata dal nome del matematico Archimede, è una curva che può essere descritta in coordinate polari dalla seguente equazione:

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Un esempio quotidiano di spirale di Archimede è una corda arrotolata per terra, dove ogni spira ha la medesima larghezza

con e numeri reali e strettamente positivo. La modifica del parametro ruota la spirale, mentre controlla la distanza fra i bracci.

La spirale di Archimede si distingue dalla spirale logaritmica per il fatto che i bracci successivi hanno una distanza fissa (uguale a se è misurato in radianti), mentre in una spirale logaritmica le distanze seguono una progressione geometrica.

Questa spirale archimedea ha due bracci, uno per e uno per . I due bracci hanno un raccordo liscio all'origine. Un braccio si ottiene dall'altro costruendo la sua immagine speculare rispetto a un opportuno asse.

Talvolta l'espressione «spirale di Archimede» è usato per un gruppo più generale di spirali:

La normale spirale archimedea si ottiene per . Altre spirali che ricadono in questo gruppo sono la spirale iperbolica (), la spirale di Fermat (), e il lituo (). Quasi tutte le spirali che si trovano in natura sono spirali logaritmiche, e non di Archimede.

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Equazione parametrica

La rappresentazione parametrica della spirale archimedea, al variare del parametro in , è data da

con e numeri reali e strettamente positivo.

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Curiosità

Riepilogo
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Il problema della rettificazione della circonferenza, che tanti sforzi costò agli antichi geometri, fu risolto anche da Archimede, introducendo una nuova curva, oltre a quelle generabili con il solo uso di riga e compasso. Questa era proprio la sua spirale. Egli riuscì a produrre un risultato che se si pensa agli strumenti matematici dell'epoca ha dell'incredibile.

Si consideri il cosiddetto primo cerchio di Archimede[1] (si veda la figura a lato). Si tracci la retta normale al raggio del primo cerchio di centro e passante per l'origine della spirale. Si consideri, poi, la retta tangente alla spirale in che interseca la retta in un punto che chiamiamo Archimede dimostra che il segmento è la rettificazione della circonferenza del cerchio di raggio [2]. Così facendo, Archimede, sposta il problema della rettificazione della circonferenza a quello di tracciare la tangente alla spirale, cosa che con il solo uso di riga e compasso è impossibile.

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Note

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