Teorema binomiale

In algebra, il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) esprime lo sviluppo della potenza ${\displaystyle n}$-esima di un binomio qualsiasi mediante la formula^[1]

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}$,

Il triangolo di Tartaglia è una disposizione geometrica dei coefficienti binomiali

in cui il fattore ${\displaystyle {n \choose k}}$ rappresenta il coefficiente binomiale ed è sostituibile con ${\displaystyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$. Tali coefficienti sono peraltro gli stessi che si trovano nel noto triangolo di Tartaglia.^[2]

Lo sviluppo vale per ogni coppia di numeri reali o complessi, ma più in generale vale in ogni anello commutativo.

Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi relativi a ${\displaystyle n=2}$, ${\displaystyle n=3}$ ed ${\displaystyle n=4}$:

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}$

${\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}}$

${\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.}$

Nel caso in cui ${\displaystyle n}$ sia un numero reale o complesso, la somma finita è sostituita da una serie infinita. Questa formula generalizzata, nel caso di ${\displaystyle n}$ reale positivo, fu realizzata da Isaac Newton (da cui il nome).

Esposizione

«Il binomio di Newton è bello come la Venere di Milo, peccato che pochi se ne accorgano.»

(Fernando Pessoa)

È possibile, secondo il teorema, sviluppare una qualunque potenza intera di ${\displaystyle (a+b)}$ in una sommatoria nella forma

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)^{n}&={n \choose 0}a^{n}b^{0}+{n \choose 1}a^{n-1}b^{1}+{n \choose 2}a^{n-2}b^{2}+{n \choose 3}a^{n-3}b^{3}+\cdots \\&{}\qquad \cdots +{n \choose n-1}a^{1}b^{n-1}+{n \choose n}a^{0}b^{n},\end{aligned}}}$

dove ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ rappresentano i coefficienti binomiali. Utilizzando la notazione di sommatoria, la stessa formula può essere scritta:

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}.}$

Una variante di questa formula binomiale può essere ottenuta sostituendo ${\displaystyle 1}$ ad ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$, considerando quindi una sola variabile. In questa forma, si ha:

${\displaystyle (1+a)^{n}={n \choose 0}a^{0}+{n \choose 1}a^{1}+{n \choose 2}a^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}a^{n-1}+{n \choose n}a^{n},}$

o, in maniera equivalente,

${\displaystyle (1+a)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}.}$

Prima dimostrazione (induttiva)

Il teorema binomiale può essere dimostrato per induzione. Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero

${\displaystyle (a+b)^{1}=\sum _{k=0}^{1}{1 \choose k}a^{(1-k)}b^{k}=a+b}$

e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente ${\displaystyle n}$ qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{(n-k)}b^{k},}$

si ha

${\displaystyle (a+b)^{n+1}}$${\displaystyle =(a+b)(a+b)^{n}}$

${\displaystyle =(a+b)\sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}$

e moltiplicando la sommatoria per ${\displaystyle (a+b)}$ si ha

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+\sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1},}$

da cui

${\displaystyle \ \sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k}}$

${\displaystyle ={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n \choose k}a^{n+1-k}b^{k}}$

${\displaystyle ={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1}a^{n+1-(k+1)}b^{k+1}}$

${\displaystyle ={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1}a^{n-k}b^{k+1}.}$

Inoltre

${\displaystyle \ \sum _{k=0}^{n}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}}$

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{n-1}\,{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n}b^{n+1}.}$

Utilizzando nel primo passaggio la proprietà del coefficiente binomiale

${\displaystyle {n+1 \choose k+1}={n \choose k+1}+{n \choose k}}$

si ha che

${\displaystyle (a+b)^{n+1}}$

${\displaystyle ={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,\left({n \choose k}+{n \choose k+1}\right)a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n}b^{n+1}}$

${\displaystyle ={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}\,{n+1 \choose k+1}a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n}b^{n+1}}$

${\displaystyle ={n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+{n \choose n}b^{n+1}.}$

Poiché infine

${\displaystyle {n \choose 0}={n+1 \choose 0}=1}$

e

${\displaystyle \ {n \choose n}={n+1 \choose n+1}=1,}$

si ha che

${\displaystyle {n \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+{n \choose n}b^{n+1}={n+1 \choose 0}a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}+{n+1 \choose n+1}b^{n+1}}$

e si ottiene l'espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio

${\displaystyle (a+b)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}\,{n+1 \choose k}a^{(n+1)-k}b^{k}}$

che conferma la tesi.

Seconda dimostrazione (combinatoria)

Se scriviamo ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ come il prodotto

${\displaystyle (a+b)(a+b)(a+b)\,\quad \ldots }$

con ${\displaystyle n}$ fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine ${\displaystyle a^{n-k}b^{k}}$ è pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo ${\displaystyle n-k}$ volte ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle k}$ volte ${\displaystyle b}$ dai fattori del prodotto, numero che è dato proprio da ${\displaystyle {n \choose k}}$.

Poiché per la proprietà distributiva il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di ${\displaystyle k}$ da ${\displaystyle 0}$ a ${\displaystyle n}$, si ha subito la tesi.

Caso di esponente generale

La definizione fornita del binomio di Newton è valida solo per ${\displaystyle n}$ numero naturale. È tuttavia possibile fornire una generalizzazione valida per ${\displaystyle (1+x)^{\alpha },\ \alpha \in \mathbb {R} }$, nonché approssimarla in un intorno destro dello 0 con una serie di Taylor.

Nella pratica si usano spesso solo i primi due termini della serie, ossia ${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+o(x),}$ dove il resto ${\displaystyle o(x)}$ indica un infinitesimo di ordine superiore al primo.

Lo sviluppo completo è

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{6}}x^{3}+\dots +{\alpha \choose k}x^{k}+o(x^{k})}$,

dove ${\displaystyle {\alpha \choose k}}$ è il coefficiente binomiale generalizzato, dato da

${\displaystyle {\alpha \choose k}={\frac {\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -k+1)}{k!}}}$.

Dimostrazione

Lo sviluppo attorno all'origine della funzione ${\displaystyle (1+x)^{\alpha }}$ è

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=(1+x)_{x=0}^{\alpha }+{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{\prime }}{1!}}x+{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{\prime \prime }}{2!}}x^{2}+\dots +{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{(k)}}{k!}}x^{k}+\dots }$

e, poiché

${\displaystyle \left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{\prime }=\alpha (1+x)_{x=0}^{\alpha -1}=\alpha }$

${\displaystyle \vdots \quad \quad \quad \quad \quad \quad \vdots }$

${\displaystyle \left((1+x)^{\alpha }\right)_{x=0}^{(i)}=\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -i+1)(1+x)_{x=0}^{\alpha -i}=\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -i+1)}$

si ottiene

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\dots +{\frac {\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -k+1)}{k!}}x^{k}+\dots }$

che è la formula di cui sopra. Troncando la serie al ${\displaystyle k}$-esimo termine, l'errore che si ottiene è un infinitesimo di ordine ${\displaystyle o(x^{k})}$.