Teorema del resto

Nell'algebra, il teorema del resto fornisce un metodo per calcolare il resto di un polinomio intero ${\displaystyle P(x)}$ quando viene diviso per un binomio della forma ${\displaystyle (x-a)}$, senza dover eseguire la divisione. Il teorema afferma che il resto di tale divisione è uguale al valore che il polinomio assume per ${\displaystyle x=a}$^[1].

Dividendo un polinomio ${\displaystyle P(x)}$ per un polinomio ${\displaystyle D(x)}$, si ottiene una relazione del tipo:

${\displaystyle P(x)=D(x)\cdot Q(x)+R(x),}$

dove ${\displaystyle R(x)}$ è un polinomio di grado minore di quello di ${\displaystyle D(x)}$. In particolare, se ${\displaystyle D(x)=x-a}$, la relazione diventa:

${\displaystyle P(x)=(x-a)\cdot Q(x)+r,}$

dove ${\displaystyle r}$ è una costante numerica. Sostituendo ${\displaystyle x=a}$ si ottiene:

${\displaystyle P(a)=(a-a)\cdot Q(a)+r=r.}$

Quindi ${\displaystyle P(a)=r}$ ossia ciò che vogliamo dimostrare.

Teorema di Ruffini

Un ovvio corollario del teorema del resto è il teorema di Ruffini^[2]:

Un polinomio ${\displaystyle P(x)}$ è divisibile per ${\displaystyle (x-a)}$ se e solo se il resto della divisione è nullo, e quindi ${\displaystyle P(a)=0}$.

Questo rende possibile determinare la divisibilità di un polinomio per un binomio ${\displaystyle (x-a)}$ senza dover eseguire la divisione.