Teorema di Hilbert-Schmidt

In matematica, il teorema di Hilbert–Schmidt, conosciuto anche come teorema di espansione di autofunzioni, è un teorema che caratterizza gli operatori compatti e autoaggiunti su uno spazio di Hilbert.

Si tratta di un risultato molto utile nello studio delle condizioni al contorno dell'operatore ellittico, che avviene nell'ambito delle equazioni differenziali alle derivate parziali.

Il teorema

Sia ${\displaystyle A}$ un operatore compatto e autoaggiunto definito su uno spazio di Hilbert ${\displaystyle H}$. Allora esiste una base ortonormale completa ${\displaystyle \{\phi _{n}\}}$ di ${\displaystyle H}$ tale che:^[1]

${\displaystyle A\phi _{n}=\lambda _{n}\phi _{n}\qquad \forall n=1,2,\dots }$

ed inoltre:

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\lambda _{n}=0}$

In particolare, le funzioni ${\displaystyle \{\phi _{n}\}}$ permettono di scrivere ${\displaystyle A}$ nel seguente modo:

${\displaystyle Au=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}\langle \phi _{n},u\rangle \phi _{n}\qquad \forall u\in H}$