Test di Miller-Rabin

Il test di primalità di Miller-Rabin è un test di primalità, ossia un algoritmo per determinare se un numero intero è primo. La sua versione originale, dovuta a Gary Miller, è deterministica, ma dipende dall'ipotesi di Riemann generalizzata, un'importante congettura matematica tuttora aperta. L'algoritmo è stato successivamente modificato da Michael Rabin che ne ha ottenuto una versione probabilistica simile al test di Fermat e al test di Solovay-Strassen.

Definizione

Sia ${\displaystyle n}$ un numero intero positivo non primo (quindi dispari). I numeri positivi ${\displaystyle b<n}$ tali che ${\displaystyle \mathrm {MCD} (b,n)=1}$ e tali che ${\displaystyle n}$ sia uno pseudoprimo di Eulero forte in base ${\displaystyle b}$ sono non più di un quarto di tutti i numeri positivi ${\displaystyle b<n}$ tali che ${\displaystyle \mathrm {MCD} (b,n)=1.}$

Questo è il test di primalità che stavamo presentando:

Fissato un intero dispari ${\displaystyle n>1,}$ lo possiamo scrivere come ${\displaystyle n=2^{s}t+1}$, con ${\displaystyle s\geq 0}$ e ${\displaystyle t}$ dispari. Il test ${\displaystyle T_{1}}$ si sintetizza nei seguenti:

1. scegliamo a caso un intero ${\displaystyle b_{1},}$ con ${\displaystyle 1<b_{1}<n,}$ e calcoliamo ${\displaystyle \mathrm {MCD} (b_{1},n);}$
2. se ${\displaystyle \mathrm {MCD} (b_{1},n)>1,}$ allora ${\displaystyle n}$ non è primo, ed abbiamo finito;
3. se ${\displaystyle \mathrm {MCD} (b_{1},n)=1,}$ calcoliamo ${\displaystyle b_{1}^{t}{\pmod {n}}.}$ Se ${\displaystyle b_{1}^{t}\equiv \pm 1{\pmod {n}},}$ allora ${\displaystyle n}$ è primo oppure è pseudoprimo forte in base ${\displaystyle b_{1}}$;
4. se non vale che ${\displaystyle b_{1}^{t}\equiv \pm 1{\pmod {n}},}$ calcoliamo ${\displaystyle b_{1}^{2t}{\pmod {n}}.}$ Se ${\displaystyle b_{1}^{2t}\equiv -1{\pmod {n}},}$ allora ${\displaystyle n}$ è pseudoprimo forte in base ${\displaystyle b_{1}}$;
5. se non vale che ${\displaystyle b_{1}^{2t}\equiv -1{\pmod {n}},}$ passiamo a ${\displaystyle b_{1}^{4t}}$ e a tutte le altre potenze di 2 moltiplicate per ${\displaystyle t.}$ Se tutti i ${\displaystyle b_{1}^{2^{r}t}}$, per ${\displaystyle r=1,\ldots ,s-1,}$ non sono mai congrui a ${\displaystyle -1}$ modulo ${\displaystyle n,}$ allora ${\displaystyle n}$ non è un primo. Altrimenti ${\displaystyle n}$ è uno pseudoprimo forte in base ${\displaystyle b_{1}}$.

Per tutti gli altri test ${\displaystyle T_{m},}$ per ${\displaystyle m}$ intero positivo, la definizione è analoga:

1. scegliamo a caso un intero ${\displaystyle b_{m}}$, con ${\displaystyle 1<b_{m}<n}$, e calcoliamo ${\displaystyle \mathrm {MCD} (b_{m},n)}$;
2. se ${\displaystyle \mathrm {MCD} (b_{m},n)>1,}$ allora ${\displaystyle n}$ non è primo, ed abbiamo finito;
3. se ${\displaystyle \mathrm {MCD} (b_{m},n)=1,}$ calcoliamo ${\displaystyle b_{m}^{t}{\pmod {n}}}$ e procediamo come nel primo test. In questo modo troviamo che ${\displaystyle n}$ non è primo, oppure che ${\displaystyle n}$ è pseudoprimo forte in base ${\displaystyle b_{m}}$.

Considerazioni finali sul test

Si può subito notare che, a differenza dei test di Fermat e test di Wilson, qui i calcoli sono minori in numero e molto più semplici, e si può dimostrare che il livello di complessità computazionale è polinomiale, mentre gli altri due presentano una difficoltà computazionale esponenziale. Per quanto riguarda l'affidabilità, anch'essa è molto buona in questo test. Infatti, nonostante sia un test probabilistico, quando effettuiamo il test ${\displaystyle T_{m}}$, sappiamo che la probabilità che n non sia primo e sia uno pseudoprimo forte in base ${\displaystyle b_{m}}$ è minore di 1/4, e, quindi, la probabilità che ${\displaystyle n}$ non sia primo ma passi i test ${\displaystyle T_{1}}$, ${\displaystyle T_{2}}$, ..., ${\displaystyle T_{m}}$ è minore di ${\displaystyle {\frac {1}{4^{m}}}}$, ossia piccolissima rispetto a quella del test di Fermat.

Assumendo l'ipotesi di Riemann generalizzata, il test di Miller-Rabin si può facilmente modificare in modo da diventare un vero test di primalità e l'algoritmo ad esso associato avrebbe costo ${\displaystyle O((\log n)^{4}\log \log \log n)}$^[1].