Topologia di sottospazio

In topologia, un sottoinsieme di uno spazio topologico eredita anch'esso una topologia, detta topologia di sottospazio o più semplicemente topologia indotta.

Definizione

Se ${\displaystyle Y}$ è un sottoinsieme di uno spazio topologico ${\displaystyle X}$, la topologia indotta su ${\displaystyle Y}$ dalla topologia su ${\displaystyle X}$ è la seguente: un sottoinsieme ${\displaystyle U}$ di ${\displaystyle Y}$ è aperto se e solo se esiste un aperto ${\displaystyle V}$ di ${\displaystyle X}$ tale che ${\displaystyle V\cap Y=U}$. In altre parole, gli aperti di ${\displaystyle Y}$ sono le intersezioni degli aperti di ${\displaystyle X}$ (cioè gli aperti ${\displaystyle V}$) con ${\displaystyle Y}$.^[1][2] La topologia indotta si dice anche topologia relativa di ${\displaystyle Y}$ in ${\displaystyle X}$.

Normalmente si assume che un sottoinsieme di uno spazio topologico abbia la topologia indotta. Considerato come spazio topologico con la topologia relativa, ${\displaystyle Y}$ si dice sottospazio topologico (o brevemente sottospazio) di ${\displaystyle X}$, mentre ${\displaystyle X}$ si dice spazio ambiente.

Proprietà caratteristica della topologia del sottoinsieme.

Alternativamente, si può definire la topologia su ${\displaystyle Y}$ in uno dei modi seguenti:

• La topologia su ${\displaystyle Y}$ è la meno fine fra tutte quelle che rendono la mappa inclusione ${\displaystyle i\colon Y\to X}$ continua.
• La topologia su ${\displaystyle Y}$ è l'unica che soddisfi la seguente proprietà universale: Per ogni spazio topologico ${\displaystyle Z}$ una applicazione ${\displaystyle f\colon Z\to Y}$ è continua se e solo se lo è la sua composizione ${\displaystyle i\circ f\colon Z\to X}$ con l'inclusione ${\displaystyle i\colon Y\to X}$.

Esempi

• I numeri interi ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ vengono normalmente considerati con la topologia indotta dai numeri reali ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Tale topologia sui numeri interi è quella discreta.

• Anche i numeri razionali ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ vengono normalmente considerati con la topologia indotta dai numeri reali ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ma questa non è discreta.

• Consideriamo l'intervallo ${\displaystyle I=[0,1]}$ con la topologia indotta da ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Il sottoinsieme ${\displaystyle (0,1]}$ è aperto in ${\displaystyle I}$ ma non in ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Proprietà

• Intersecando tutti gli aperti di una base di ${\displaystyle X}$ con ${\displaystyle Y}$ si ottiene una base per ${\displaystyle Y}$.
• Se ${\displaystyle X}$ è uno spazio metrico, la metrica ristretta ad ${\displaystyle Y}$ induce la topologia del sottoinsieme.
• Se ${\displaystyle X}$ è compatto e ${\displaystyle Y}$ è chiuso allora ${\displaystyle Y}$ è anch'esso compatto.
• Se ${\displaystyle X}$ è di Hausdorff allora anche ${\displaystyle Y}$ lo è.
• Gli insiemi chiusi di ${\displaystyle Y}$ sono le intersezioni di ${\displaystyle Y}$ con gli insiemi chiusi di ${\displaystyle X}$.