Wavelet Haar

La wavelet Haar è stata la prima wavelet ad essere proposta nel 1909 da Alfréd Haar^[1]. Haar usò queste funzioni per dare un esempio di un sistema ortonormale numerabile per lo spazio delle funzioni L2 sulla retta reale.

La wavelet Haar è anche la wavelet più semplice. Lo svantaggio della wavelet di Haar è che non è una funzione continua e quindi non è derivabile.

La wavelet Haar

La wavelet madre di Haar è la funzione

${\displaystyle \psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1/2,\\-1&1/2\leq t<1,\\0&{\mbox{altrimenti.}}\end{cases}}}$

e la sua funzione padre

${\displaystyle \phi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1,\\0&{\mbox{altrimenti.}}\end{cases}}}$

Proprietà

La wavelet di Haar ha diverse proprietà:

• Ogni funzione sufficientemente regolare può essere approssimata, in un senso che può essere precisato, da una combinazione lineare di ${\displaystyle \phi (t),\phi (2t),\phi (4t),\dots ,\phi (2^{k}t),\dots }$ e le loro traslazioni.
• Ogni funzione può essere approssimata dalla funzione costante 1 e ${\displaystyle \psi (t),\psi (2t),\psi (4t),\dots ,\psi (2^{k}t),\dots }$ e le loro traslazioni.
• Ortonormalità

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }2^{m}\psi (2^{m_{1}}t-n_{1})\psi (2^{m}t-n)\,dt=\delta (m-m_{1})\delta (n-n_{1})}$

La funzione duale di ${\displaystyle \psi (t)}$ è ${\displaystyle \psi (t)}$ stessa.

• Relazione madre/padre con diversa scala m:

${\displaystyle \phi (t)=\phi (2t)+\phi (2t-1)}$

${\displaystyle \psi (t)=\phi (2t)-\phi (2t-1)}$

• I coefficienti di scala m possono essere calcolati dai coefficienti di scala m+1

Se ${\displaystyle \chi _{w}(n,m)=2^{m/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\phi (2^{m}t-n)\,dt}$

${\displaystyle \chi _{w}(n,m)={\sqrt {\frac {1}{2}}}(\chi _{w}(2n,m+1)+\chi _{w}(2n+1,m+1))}$

${\displaystyle \mathrm {X} _{w}(n,m)=2^{m/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\psi (2^{m}t-n)\,dt}$

${\displaystyle \mathrm {X} _{w}(n,m)={\sqrt {\frac {1}{2}}}(\chi _{w}(2n,m+1)-\chi _{w}(2n+1,m+1))}$

Matrice di Haar

La matrice di Haar 2×2 associata con la wavelet è

${\displaystyle H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}$

Usando la trasformata wavelet discreta si può trasformare ogni sequenza ${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots ,a_{2n},a_{2n+1})}$ di lunghezza pari in una sequenza di vettori a due componenti ${\displaystyle \left(\left(a_{0},a_{1}\right),\dots ,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right)}$. Se si moltiplica ogni vettore con la matrice ${\displaystyle H_{2}}$ si ottiene il risultato ${\displaystyle \left(\left(s_{0},d_{0}\right),\dots ,\left(s_{n},d_{n}\right)\right)}$,

Se si hanno sequenze di lunghezza multiplo di quattro si possono costruire blocchi di 4 elementi e trasformarli in maniera simile con una matrice di Haar 4×4

${\displaystyle H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&0&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}}}$,