ベータ分布ウィキペディア フリーな encyclopedia ベータ分布(ベータぶんぷ、英: beta distribution)は、連続確率分布であり、第1種ベータ分布および第2種ベータ分布がある。単にベータ分布と呼んだ場合、第1種ベータ分布を指す。 概要 母数, 台 ...第1種ベータ分布 確率密度関数 累積分布関数母数 α > 0 {\displaystyle \alpha >0} 形状母数 (実数) β > 0 {\displaystyle \beta >0} 形状母数 (実数)台 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 確率密度関数 x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 B ( α , β ) {\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\operatorname {B} (\alpha ,\beta )}}} (B はベータ関数)累積分布関数 I x ( α , β ) {\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )} I x ( α , β ) {\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )} は正則化された不完全ベータ関数期待値 E [ X ] = α α + β {\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}} E [ ln X ] = ψ ( α ) − ψ ( α + β ) {\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )} (ψはディガンマ関数)中央値 I 1 / 2 [ − 1 ] ( α , β ) (in general) ≈ α − 1 / 3 α + β − 2 / 3 for α > 1 , β > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&I_{1/2}^{[-1]}(\alpha ,\beta )&{\text{(in general)}}\\&\approx {\frac {\alpha -1/3}{\alpha +\beta -2/3}}&{\text{for }}\alpha >1,\beta >1\end{aligned}}} 最頻値 α − 1 α + β − 2 {\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}} for α , β > 1 {\displaystyle \alpha ,\beta >1} 分散 var [ X ] = α β ( α + β ) 2 ( α + β + 1 ) {\displaystyle \operatorname {var} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}} var [ ln X ] = ψ 1 ( α ) − ψ 1 ( α + β ) {\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )} (ψ1 はトリガンマ関数)歪度 2 ( β − α ) α + β + 1 ( α + β + 2 ) α β {\displaystyle {\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}} 尖度 6 [ ( α − β ) 2 ( α + β + 1 ) − α β ( α + β + 2 ) ] α β ( α + β + 2 ) ( α + β + 3 ) {\displaystyle {\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}} エントロピー ln B ( α , β ) − ( α − 1 ) ψ ( α ) − ( β − 1 ) ψ ( β ) + ( α + β − 2 ) ψ ( α + β ) {\displaystyle {\begin{aligned}\ln \operatorname {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )\\-(\beta -1)\psi (\beta )+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{aligned}}} モーメント母関数 1 + ∑ k = 1 ∞ ( ∏ r = 0 k − 1 α + r α + β + r ) t k k ! {\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}} 特性関数 1 F 1 ( α ; α + β ; i t ) {\displaystyle {}_{1}\!F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)} (Confluent hypergeometric functionを参照)テンプレートを表示閉じる
ベータ分布(ベータぶんぷ、英: beta distribution)は、連続確率分布であり、第1種ベータ分布および第2種ベータ分布がある。単にベータ分布と呼んだ場合、第1種ベータ分布を指す。 概要 母数, 台 ...第1種ベータ分布 確率密度関数 累積分布関数母数 α > 0 {\displaystyle \alpha >0} 形状母数 (実数) β > 0 {\displaystyle \beta >0} 形状母数 (実数)台 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 確率密度関数 x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 B ( α , β ) {\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\operatorname {B} (\alpha ,\beta )}}} (B はベータ関数)累積分布関数 I x ( α , β ) {\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )} I x ( α , β ) {\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )} は正則化された不完全ベータ関数期待値 E [ X ] = α α + β {\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}} E [ ln X ] = ψ ( α ) − ψ ( α + β ) {\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )} (ψはディガンマ関数)中央値 I 1 / 2 [ − 1 ] ( α , β ) (in general) ≈ α − 1 / 3 α + β − 2 / 3 for α > 1 , β > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&I_{1/2}^{[-1]}(\alpha ,\beta )&{\text{(in general)}}\\&\approx {\frac {\alpha -1/3}{\alpha +\beta -2/3}}&{\text{for }}\alpha >1,\beta >1\end{aligned}}} 最頻値 α − 1 α + β − 2 {\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}} for α , β > 1 {\displaystyle \alpha ,\beta >1} 分散 var [ X ] = α β ( α + β ) 2 ( α + β + 1 ) {\displaystyle \operatorname {var} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}} var [ ln X ] = ψ 1 ( α ) − ψ 1 ( α + β ) {\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )} (ψ1 はトリガンマ関数)歪度 2 ( β − α ) α + β + 1 ( α + β + 2 ) α β {\displaystyle {\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}} 尖度 6 [ ( α − β ) 2 ( α + β + 1 ) − α β ( α + β + 2 ) ] α β ( α + β + 2 ) ( α + β + 3 ) {\displaystyle {\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}} エントロピー ln B ( α , β ) − ( α − 1 ) ψ ( α ) − ( β − 1 ) ψ ( β ) + ( α + β − 2 ) ψ ( α + β ) {\displaystyle {\begin{aligned}\ln \operatorname {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )\\-(\beta -1)\psi (\beta )+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{aligned}}} モーメント母関数 1 + ∑ k = 1 ∞ ( ∏ r = 0 k − 1 α + r α + β + r ) t k k ! {\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}} 特性関数 1 F 1 ( α ; α + β ; i t ) {\displaystyle {}_{1}\!F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)} (Confluent hypergeometric functionを参照)テンプレートを表示閉じる