アルキメデスの螺旋

アルキメデスの螺旋（英: Archimedean spiral）は、紀元前3世紀のギリシアの数学者アルキメデスにちなんで名付けられた螺旋曲線である。 「アルキメデスの螺旋」という語は、ときにこの種の螺旋の一般的なクラスを指す場合もあるが、特にアルキメデス自身が記述した算術的螺旋を指すこともある。

アルキメデスの螺旋

この螺旋は、一定の角速度で回転する直線に沿って、定速で固定点から遠ざかる点の軌跡として定義される。極座標 (r, θ) においては、実数 b を用いて，次の式で表される：

$${\displaystyle r=b\cdot \theta }$$

ここで、定数 b の値を変えることにより、隣接する巻きの間隔が決定される。したがって、この方程式から「出発点からの動点の位置は、時間経過に伴って角度 θ に比例する」と述べることができる。

アルキメデスはこの螺旋について著書『螺旋について (On Spirals)』に記している。また、サモスのコノンは彼の友人であり、パップスによれば、この螺旋はコノンによって発見されたと伝えられている。^[1]

螺旋の一般式の導出

→「円運動」も参照

以下では、アルキメデスの螺旋の概念を理解するために物理的アプローチを用いる。

xy 平面は時間 t において角度 ωt だけ原点まわりに反時計回りに回転する。(c,0) が t = 0 における位置であり、P が時間 t における物体の位置、距離は R=vt+c である。

ある点物体が、デカルト座標系において x 軸に平行に一定の速度 v で移動すると仮定する。時刻 t = 0 において、この物体は任意の点 (c, 0, 0) にあるとする。もし xy 平面が、z 軸のまわりに一定の角速度 ω で回転するならば、物体の z 軸に対する速度は次のように表される：

$${\displaystyle {\begin{aligned}|v_{0}|&={\sqrt {v^{2}+\omega ^{2}(vt+c)^{2}}}\\v_{x}&=v\cos \omega t-\omega (vt+c)\sin \omega t\\v_{y}&=v\sin \omega t+\omega (vt+c)\cos \omega t\end{aligned}}}$$図に示すように、vt + c が任意の時刻 t における粒子の位置ベクトルの大きさを表す。ここで v_x, v_y はそれぞれ x, y 軸方向の速度成分である。$${\displaystyle {\begin{aligned}\int v_{x}\,dt&=x\\\int v_{y}\,dt&=y\end{aligned}}}$$これらを部分積分により積分すると、次のような媒介変数表示が得られる：$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=(vt+c)\cos \omega t\\y&=(vt+c)\sin \omega t\end{aligned}}}$$両式を二乗して加えると、次の直交座標式が得られる：$${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {v}{\omega }}\cdot \arctan {\frac {y}{x}}+c}$$（ここで ωt = θ および θ = arctan y/x を用いた）。あるいは$${\displaystyle \tan \left(\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-c\right)\cdot {\frac {\omega }{v}}\right)={\frac {y}{x}}}$$その極座標形は$${\displaystyle r={\frac {v}{\omega }}\cdot \theta +c}$$となる。

弧長と曲率

アルキメデスの螺旋の接触円（接円）。螺旋自体は描かれていないが、円が互いに特に接近する点に螺旋が通る。

デカルト座標での媒介変数表示は次の通り：$${\displaystyle f:\theta \mapsto (r\cos \theta ,r\sin \theta )=(b\,\theta \cos \theta ,\,b\,\theta \sin \theta )}$$θ₁ から θ₂ までの弧長は$${\displaystyle {\frac {b}{2}}\left[\theta {\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\ln \left(\theta +{\sqrt {1+\theta ^{2}}}\right)\right]_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}}$$あるいは同値的に$${\displaystyle {\frac {b}{2}}\left[\theta {\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\operatorname {arcsinh} \theta \right]_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}}$$したがって θ₁ = 0 から θ₂ = θ までの全長は$${\displaystyle {\frac {b}{2}}\left[\theta {\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\ln \left(\theta +{\sqrt {1+\theta ^{2}}}\right)\right]}$$である。

曲率は次の式で与えられる：$${\displaystyle \kappa ={\frac {\theta ^{2}+2}{b(\theta ^{2}+1)^{\tfrac {3}{2}}}}}$$

特徴

極座標平面上に表されたアルキメデスの螺旋

アルキメデスの螺旋は、原点から任意の半直線を引くと、螺旋の各回転との交点が一定間隔で現れるという性質を持つ（角度 θ をラジアンで測ると、その間隔は 2πb に等しい）。このことから「算術螺旋」とも呼ばれる。

これに対し対数螺旋では、交点間の距離や原点からの距離が等比数列をなす。

アルキメデスの螺旋には 2 本の腕があり、θ > 0 の部分と θ < 0 の部分がそれぞれ対応し、両者は原点で滑らかにつながっている。図には一方の腕のみが描かれているが、これを y 軸に対して鏡映するともう一方の腕が得られる。

大きな θ に対しては、点はアルキメデスの螺旋に沿ってほぼ等加速度運動を行う。この螺旋は「固定点から定速で遠ざかり、結ぶ直線が一定の角速度で回転する点の軌跡」として理解できる。^[2]

アルキメデスの螺旋が成長すると、その伸開線（エボリュート）は漸近的に半径 |v|/ω の円に近づく。

一般化されたアルキメデスの螺旋

しばしば「アルキメデスの螺旋」という語は、より一般的な次の形を持つ螺旋を指す：$${\displaystyle r=a+b\cdot \theta ^{\frac {1}{c}}}$$ここで、通常のアルキメデスの螺旋は c = 1 の場合である。その他、この群に含まれる螺旋として、双曲線螺旋（c = −1）、フェルマーの螺旋（c =2）、リトゥース曲線（c = −2）などがある。

応用

アルキメデスは、螺旋を利用して円の求積を行う方法を示した。また、この螺旋を用いて角の三等分を行う方法も示している。いずれも、古代ギリシア幾何学での定規とコンパスに基づく厳密な制約を緩めたものである。^[3]

スクロール圧縮機の機構

アルキメデスの螺旋は多くの実用的応用を持つ。

• スクロール圧縮機のローターは、2 本のアルキメデス螺旋を組み合わせた形状を基に設計される。
• 渦巻アンテナは広帯域動作を可能にし、その形状はアルキメデスの螺旋に基づく。
• 時計のテンプに用いられるぜんまいばねや、初期のレコード盤の溝は、等間隔を保つアルキメデスの螺旋に基づいている。^[4]
• 神経疾患の診断の一環として、患者にアルキメデスの螺旋を描かせる方法があり、手の震えの定量化に用いられる。
• DLPでは「虹効果」を軽減するために利用される。
• 食品微生物学では、螺旋平板法（spiral plate method）により細菌濃度の測定が行われる。^[5]
• ペガスス座LL星のまわりに見られる塵雲は、おおよそアルキメデスの螺旋を成していると考えられている。^[6]

作図法

算術螺旋は、半径を角度に応じて連続的に増加させる必要があるため、伝統的な定規とコンパスの作図では正確には構成できない。しかし近似的に構成する方法はいくつか存在する。

• 大円を 12 分割し、半径も等分したのち、同心円と放射線の交点を順に結んで近似螺旋を描く方法。
• 糸コンパスを改良し、糸が巻き付く中心針を固定して角度とともに半径が増減するようにする方法。
• ねじ軸とアームを組み合わせた機械的装置を用いて、正確に半径を変化させながら描く方法。これはアルキメディアン・スクリューを想起させる。

これらの方法により、アルキメデスの螺旋は高精度で近似的に作図できる。