ザリスキー接空間

代数幾何学において，ザリスキー接空間は代数多様体 V（あるいはより一般の対象）上の点 P における接空間を定義する構成である．微分法は用いず，抽象代数学に直接基づいており，最も具体的な場合は単に線型方程式系の理論である．

定義

局所環 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$ の余接空間は

${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$

と定義される．これは剰余体 ${\displaystyle k:=R/{\mathfrak {m}}}$ 上のベクトル空間である．その双対線型空間は R の接空間と呼ばれる^[1]．

スキーム X の点 P における接空間 ${\displaystyle T_{P}(X)}$ と余接空間 ${\displaystyle T_{P}^{*}(X)}$ は ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,P}}$ の（余）接空間である．Spec の関手性により，自然な商写像 ${\displaystyle f\colon R\rightarrow R/I}$ は準同型 ${\displaystyle g\colon {\mathcal {O}}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{Y,P}}$ を誘導する．ただし X = Spec(R) であり，P は Y = Spec(R/I) の点である．これは ${\displaystyle T_{P}(Y)}$ を ${\displaystyle T_{f^{-1}P}(X)}$ に埋め込むのに用いられる^[2]．体の間の射は単射だから，g から誘導される剰余体の全射は同型である．すると余接空間の間の射 k が g から誘導され，次で与えられる：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}&\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/I)/(({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)/I)\\&\cong {\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)\\&\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/{\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2})/\mathrm {Ker} (k).\end{aligned}}}$

これは全射だから，転置 ${\displaystyle k^{*}\colon T_{P}(Y)\rightarrow T_{f^{-1}P}(X)}$ は単射である．

関連項目

• 接錐（英語版）
• ジェット (数学)（英語版）