代数幾何学

代数幾何学（だいすうきかがく、英: algebraic geometry）とは、多項式の零点（解の集合）がなす図形の代数的手法（代数多様体）による研究する数学の一分野である^[1][2]。

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歴史

ルネ・デカルトは多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだし、解析幾何学が誕生した。解析幾何学における「解析」は当時の用法では代数の意味であり、代数幾何学の直接的な前身といえる^[3]。

19世紀中期に、ベルンハルト・リーマンがアーベル関数論の中で双有理同値など代数幾何学の中心概念を生み出し、19世紀後半には、イタリアの直観的な代数幾何学が発展した（イタリア学派）。20世紀前半には、アンドレ・ヴェイユ、オスカー・ザリスキによって、抽象的な代数幾何学の研究が進められ、1950年代以降はグロタンディークのスキーム論によって代数幾何学全体が大きく書き直された。

1970年代には小平次元、ホッジ理論，トーリック多様体、極小モデルの理論などが整備された^[4]。

現代では数理物理学^[5][6]・可積分系^{[7][8][9][10][11]}との関係や、機械学習への応用が研究されている^[12][13]。

大別して、現代の代数幾何学は「多変数代数函数体に関する幾何学論」と「射影空間上での複素多様体論」とに分けられる。前者は代数学の中の可換環論と関係が深く、後者は幾何学の中の多様体論と関係が深い。代数幾何学は20世紀に入って外観を一新し、大きく発展した数学の分野といわれる。

代数多様体

多項式の零点

二次曲線（円錐曲線）の例。

永田雅宜は、代数幾何学を簡単に言えば「連立方程式の解の集合の幾何学的性質を調べる学問」であると述べている^[1]。

平面や空間に座標を導入すると代数方程式は図形の形で表現される^[14]。このような図形が代数多様体である。

例えば、${\displaystyle x,y}$ を実変数として ${\textstyle x^{2}+ay^{2}-1}$ という多項式を考える。この多項式の零点がなす、 ${\textstyle {\textbf {R}}^{2}}$の中の集合は二次曲線をなし、${\textstyle a}$ の正・零・負によってそれぞれ楕円、平行二直線、双曲線になる。このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。

代数幾何学ではこのような図形の幾何学的性質を調べることを中心としている^[14]。これは高々三次元の実ユークリッド空間において高々二次の多項式を考える解析幾何学の一般化である。

アフィン多様体

→詳細は「アフィン空間」および「アフィン多様体」を参照

（複素数係数の）多項式の共通零点の集合をアフィン代数的集合と呼ぶ。このうち既約なアフィン代数的集合をアフィン多様体（アフィン代数多様体）と呼ぶ。一般の代数多様体はアフィン多様体を多項式関数で「貼り合わせた」ものである^[15]。代数幾何学では様々な代数多様体を研究する。

射影多様体

→詳細は「射影空間」および「射影多様体」を参照

アフィン多様体は「開いた」多様体である。射影幾何学において無限遠点を考えるのと同様に、無限遠に次元の低い多様体を付け加えることによって「閉じた」多様体にすることで理論が簡潔になる。このような多様体を射影多様体と呼ぶ。

射影幾何学は射影変換における不変性の研究である。代数幾何学は射影幾何学を含んでいるが、それよりは大きな幾何学といえる^[16]。

スキーム

→詳細は「スキーム (数学)」を参照

アフィン多様体を代数的閉体でない体の上や、さらに一般に可換環において定義しようとすると、古典的な代数多様体の議論では不十分である。この点を補うためにアレクサンドル・グロタンディークによってつくられたのが、スキームの理論である^[17]。

曲面の分類

代数幾何学において非常に重要な問題として「多項式の形から、多様体を分類せよ」という分類問題が挙げられる。これは解析幾何学で行われた二次曲線や二次曲面の分類の一般化である。

曲線のような低次元の多様体の場合、分類は簡単にできると思われがちだが、低次元でも次数が高くなるとあっという間に分類が非常に複雑になる。

当然、次元が上がると更に複雑化し、4次元以上の代数多様体についてはあまり研究は進んでいない。

2次元の場合、多様体に含まれる(−1)カーブと呼ばれる曲線を除外していくことにより、特殊な物をのぞいて極小モデルと呼ばれる多様体が一意に定まるので、2次元の場合の分類問題は「極小モデルを分類せよ」という問題に帰着される。

3次元の場合も同じように極小モデルを分類していくという方針が立てられたが、3次元の場合は、その極小モデルが一意に定まるかどうかが大問題であった。しかし、1988年森重文により3次元多様体の極小モデル存在定理が証明され、以降「森のプログラム」と呼ばれるプログラムに沿って分類が強力に推し進められている^[18]。

主な日本人研究者

• 秋月康夫（1902年8月23日 - 1984年7月11日） - 京都大学名誉教授。
• 小平邦彦（1915年3月16日 - 1997年7月26日） - 東京大学名誉教授。フィールズ賞、ウルフ賞数学部門など。
• 永田雅宜（1927年2月9日 - 2008年8月27日） - 京都大学名誉教授。中日文化賞。
• 広中平祐（1931年4月9日 - ） - ハーバード大学名誉教授。朝日賞、フィールズ賞、日本学士院賞など。
• 宮西正宜（1940年9月14日 - ） - 大阪大学名誉教授。
• 飯高茂（1942年5月29日 - ） - 学習院大学名誉教授。弥永賞。日本学士院賞。
• 梅村浩（1944年12月19日 - 2019年3月8日） - 名古屋大学名誉教授。代数学賞。
• 上野健爾（1945年12月11日 - ） - 京都大学名誉教授。
• 森重文（1951年2月23日 - ） - 京都大学名誉教授。フィールズ賞、日本学士院賞、彌永賞など。
• 斎藤秀司（1957年10月16日 - ） - 東京大学教授。春季賞。
• 小木曽啓示（1963年 - ） - 東京大学教授。大阪大学名誉教授。建部賢弘賞、代数学賞。