ファン・スコーテンの定理

ファン・スコーテンの定理（ファン・スコーテンのていり、英: Van Schooten's theorem）とはオランダの数学者フランス・ファン・スコーテン（英語版）に由来して名づけられた、正三角形に関する定理である。

正三角形△ABCとその外接円上の点PについてPA, PB, PCのうち最も長いものの長さは、他二つの長さの和と等しい。

${\displaystyle |PA|=|PB|+|PC|}$

この定理はトレミーの定理の系である。正三角形△ABCの辺長を a、PA, PB, PCのうち最も長い辺をPAとすれば、トレミーの定理によって次の式が成立する

${\displaystyle {\begin{aligned}&|BC|\cdot |PA|=|AC|\cdot |PB|+|AB|\cdot |PC|\\[6pt]\Longleftrightarrow &a\cdot |PA|=a\cdot |PB|+a\cdot |PC|\end{aligned}}}$

一般化

正奇数角形

正2n + 1角形A₁A₂...A_{2n + 1}の外接円の弧A₁A_{2n + 1}上の点Pについて、

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left|A_{2k+1}P\right|=\sum _{k=1}^{n}\left|A_{2k}P\right|}$

が成立する^[1]。

例

正五角形ABCDEの外接円の弧AE上の点Pについて、

${\displaystyle \left|AP\right|+\left|CP\right|+\left|EP\right|=\left|BP\right|+\left|DP\right|}$

が成立する^[2][3][4]。

一般の三角形

Bui Quang Tuanによる一般化を紹介する。△ABCとその外接円上の点Pについて、PとBC, CA, ABの距離をそれぞれd_a, d_b, d_cとすれば、BC/d_a, CA/d_b, AB/d_cのうち、最も長いものの長さは、そのほかの2つの長さの和と等しい^[5]。 さらに、円内接多角形X₁X₂X₃...X_nについて、その外接円の弧X₁X₂上の点Pを作る。このとき、Pと辺X_iX_i+1の距離をd_iとすれば、

${\displaystyle {\frac {X_{1}X_{2}}{d_{1}}}=\sum _{i=2}^{n}{\frac {X_{i}X_{i+1}}{d_{i}}}}$

が成立する（X_n+1 = X₁とする）。