フールマン円

ユークリッド幾何学において、フールマン円（フールマンえん、英: Fuhrmann circle）は、ドイツの数学者、ヴィルヘルム・フールマンにちなんで名づけられた、ナーゲル点Nと垂心Hを直径の両端とする円である。またフールマン三角形の外接円でもある^[1]。フールマン円の中心は Encyclopedia of Triangle Centers において X₃₅₅として登録されている^[2]。

フールマン円

フールマン円とフールマン三角形（赤色）。N, Hはそれぞれナーゲル点と垂心を表し、元の三角形の内接円の半径をrとするとき、${\displaystyle |AP_{a}|=|BP_{b}|=|CP_{c}|=2r}$ が成り立つ。

任意の三角形について、その辺長をそれぞれa, b, c、内角をそれぞれA, B, C、半周長をs、外接円の半径をR、内接円の半径をrとすると、フールマン円の半径 ${\displaystyle R_{F}}$ は

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{F}&={\sqrt {R(R-2r)}}\\&=R{\sqrt {3-2(\cos A+\cos B+\cos C)}}\\&=R{\sqrt {1-{\frac {8(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}}}}\\&={\sqrt {{\frac {abc\,}{2s}}\left\{{\frac {abc\,}{8(s-a)(s-b)(s-c)}}-1\right\}}}\\\end{aligned}}}$$

である。これはオイラーの定理により、外心と内心の距離と等しい。

また、垂心でないほうの、各頂垂線とフールマン円との交点について、同一頂垂線上に在る各頂点との距離が内接円の直径と等しくなる。

フールマン円の中心と内心の中点は九点円の中心である^[3]。

一般化

△ABCについて、その辺上にない点Pの擬調和三角形を△A'B'C' とする。また、A',B',C'をそれぞれBC,CA,ABで鏡映した点をP_a,P_b,P_cとする。△P_aP_bP_c（Pフールマン三角形）の外接円をPのヘギー円（P-Hagge circle）またはPのフールマン円（P-Fuhrmann circle）と言う^{[4][5][6][7][8][9]}。名称はカール・ヘギーに由来する^[10]。Pが内心のとき、ヘギー円はフールマン円となる。フールマン円と同様、ヘギー円は以下の性質を満たす^[11]。

• ヘギー円は垂心を通る（First Hagge theorem^[12]）。
• Pの等角共役点P*とPのヘギー円の中心の中点は、九点円の中心である。
• ヘギー円の半径はP*と外心の距離に等しい。
• 垂心のヘギー円に対する対蹠点、重心、P*は共線である。

Christopher J Bradleyは対垂三角形を用いたヘギー円の一般化を発表している^[12]。

2020年、Vu Thanh Tungは次の一般化を示した^[13]。

点P,Uに対して、AU,BCの交点をA₀、円PBCと直線APのPでない方の交点をA₁、直線A₀A₁と円PBCのA₁でない方の交点をA₂とする。同様にB₂,C₂も定義したとき、P,A₂,B₂,C₂は共円である。この円をVu Circleという。Pを垂心とすれば、ヘギー円となる。