ポッホハマー記号

解析学におけるポッホハマー記号（ポッホハマーきごう、英: Pochhammer symbol）はレオ・オーギュスト・ポッホハマー（英語版）の名に因む特殊函数^{[* 1]}で、組合せ論および超幾何級数論にも応用を持つ。

記法について

同じ函数を表す記号だが、表記にはいくつかバリエーションがある。

• ${\displaystyle x^{(n)}}$: 組合せ論で使用
• ${\displaystyle (x,n),\,(x)_{n}}$: 解析学、特殊函数論で使用
• ${\displaystyle x^{\overline {n}},\,x^{\underline {n}}}$: (その他の記法)

複素数 x と正整数 n に対して、特殊函数論では (x)_n を昇冪^{[* 2]}

${\displaystyle (x)_{n}=\prod _{j=0}^{n-1}(x+j)=x(x+1)(x+2)\dotsb (x+n-1)}$

を表すのに用いるが、組合せ論では (x)_n を降冪^{[* 3]}

${\displaystyle (x)_{n}=\prod _{j=0}^{n-1}(x-j)=x(x-1)(x-2)\dotsb (x-n+1)}$

として用いる。混乱を避けるため、昇冪を (x)ⁿ, 降冪を (x)_n でそれぞれ表すこともよく行われる^{[* 4]}。さらに グラハム, クヌース & パタシュニク (2020, pp. 48–49, 64) は全く別の冪乗に似た記号を用いる。

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\overline {n}}&=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1),\\x^{\underline {n}}&=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1).\end{aligned}}}$

差分学における降冪は微分学における冪の類似対応物である。 ガンマ関数Γを用いると

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\overline {n}}&={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}},\\x^{\underline {n}}&={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\end{aligned}}}$

となる（ただしガンマ関数の引数が非正整数でない場合）。さらに x が正整数のときは階乗を用いて

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\overline {n}}&={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}},\\x^{\underline {n}}&={\frac {x!}{(x-n)!}}\quad (x\geq n)\end{aligned}}}$

性質

各 n に対するポッホハマー記号 (x, n) のグラフ

• ポッホハマー記号 (x, n) は複素変数 x に関して有理型函数である。
• 任意の自然数 n ∈ N に対して (x, n) は x の多項式であり、x = 0 を共通根に持つ。
• 変数 x の符号を反転するとき

  ${\displaystyle (-z,n)=(-1)^{n}(z-n+1,\,n).}$

• 径数 n の符号を反転するとき、以下の関係式が成り立つ:

  ${\displaystyle (x,-n)=(-1)^{n}{\frac {1}{(1-x,n)}}.}$

• ${\displaystyle (z,\,n+m)=(z,n)(z+n,\,m)}$
• 商の法則:

  ${\displaystyle {\frac {(x,n)}{(x,m)}}={\begin{cases}(x+m,\,n-m)&(n>m),\\[5pt]{\dfrac {1}{(x+m,\,m-n)}}&(m>n).\end{cases}}}$

• 特殊値:

  ${\displaystyle (1,n)=n!\quad (n\in \mathbb {N} ).}$

  ${\displaystyle (1/2,n)=2^{-n}(2n-1)!!\quad (n\in \mathbb {N} ).}$

• 二項係数との間に以下の関係がある:

  ${\displaystyle {z \choose n}={\frac {(-z)_{n}}{n!}}.}$

応用

ポッホハマー記号は函数の冪級数展開を表すのに用いられる。いくつか例を挙げれば、

1. ニュートンの二項級数:

   ${\displaystyle (1-z)^{a}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-a)_{k}}{k!}}\,z^{k}\qquad (|z|<1).}$

2. 超幾何函数:

   ${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\begin{matrix}a,b\\[-3pt]c\end{matrix}}\;;\;z\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a)_{k}(b)_{k}}{(c)_{k}k!}}\,z^{k}.}$

一般化

q-類似

→詳細は「qポッホハマー記号」を参照

ポッホハマー記号の q-類似に q-ポッホハマー記号がある。これは

${\displaystyle (a;q)_{0}:=1,\quad (a;q)_{n}:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})}$

で定義される。

多重ポッホハマー記号

→詳細は「一般化ポッホハマー記号（英語版）」を参照

多重指数に対するポッホハマー記号を以下のように定めることができる:

${\displaystyle (a)_{\kappa }^{(\alpha )}:=\prod _{i=1}^{m}\prod _{j=1}^{\kappa _{i}}\left(a-{\frac {i-1}{\alpha }}+j-1\right)\quad (\kappa =\kappa _{1}+\kappa _{2}+\dotsb +\kappa _{m},\,\alpha >0).}$

注釈

1. ポッホハマー自身は (x)_n を二項係数に用い、降冪は [x]_n、昇冪は [x]+
   n で表した。(Pochhammer 1888, pp. 80–81)
2. Weisstein, Eric W. “Rising Power”. mathworld.wolfram.com (英語).
3. Weisstein, Eric W. “Falling Power”. mathworld.wolfram.com (英語).
4. それほど一般的ではないが昇冪を (x)⁺_n と書くこともある。このとき混乱を避けるため、降冪は (x)^–_n と書いて区別するのが典型的である。(Knuth 1992, p. 414)