Qポッホハマー記号

数学において、qポッホハマー記号(英: q-Pochhammer symbol)はq-類似の数式に頻出する乗積を略記する記号である^[1][2][3]。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a;q)_{\infty }:=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})\\&(a;q)_{n}:={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle |q|<1}$の仮定が普通であり、実用上、${\displaystyle n}$は整数であることが多い。${\displaystyle n}$が整数である場合は

${\displaystyle (a;q)_{n}={\begin{cases}\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})&n>0\\1&n=0\\\displaystyle \prod _{k=n}^{-1}{\frac {1}{(1-aq^{k})}}&n<0\\\end{cases}}}$

となる。${\displaystyle m,n}$が整数であり、${\displaystyle a=q^{-m}}$であるとき、${\displaystyle 0{\leq }m<n}$であれば${\displaystyle (q^{-m};q)_{n}=0}$であり、${\displaystyle n{\leq }m<0}$であれば${\displaystyle (q^{-m};q)_{n}}$である。

更なる略記

基底 (base) が文字${\displaystyle q}$である場合は省略することがある。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a)_{n}=(a;q)_{n}\\&(q)_{n}=(q;q)_{n}\\\end{aligned}}}$

複数のqポッホハマー記号が並ぶときは合成することがある。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a,b,c)_{n}=(a,b,c;q)_{n}:=(a;q)_{n}(b;q)_{n}(c;q)_{n}\\\end{aligned}}}$

変換式

以下の変換式が成立する。

${\displaystyle {\begin{aligned}(aq^{-n+1};q)_{n}&=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{-n+1+k})\\&=(-a)^{n}q^{-n(n-1)/2}\prod _{k=0}^{n-1}\left(1-{\frac {q^{n-1-k}}{a}}\right)\\&=(-a)^{n}q^{-n(n-1)/2}\prod _{k=0}^{n-1}\left(1-{\frac {q^{k}}{a}}\right)\qquad (n-1-k{\mapsto }n)\\&=(-a)^{n}q^{-n(n-1)/2}\left({\dfrac {1}{a}};q\right)_{n}\end{aligned}}}$

qブラケット

qブラケット (英: q-bracket) は整数、実数、複素数などのq-類似を表す記号である^[4]。

${\displaystyle [n]=[n]_{q}:={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=\sum _{k=0}^{n-1}q^{k}.}$

q階乗

q階乗 (英: q-factorial) は階乗のq-類似である^[3][5]。（分母は普通の冪乗であることを為念）

${\displaystyle [n]_{q}!:=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.}$

q二項係数

q二項係数 (英: q-binomial coefficient) は二項係数のq-類似である^[3][6]。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}={\frac {(q;q)_{n}}{(q;q)_{n-k}(q;q)_{k}}}.}$