マクスウェル分布

マクスウェル分布（マクスウェルぶんぷ、英: Maxwell distribution^[1]）とは、熱力学的平衡状態において、気体分子の速度が従う分布関数である。マクスウェル＝ボルツマン分布（英: Maxwell–Boltzmann distribution^[1]）と呼ばれることもある。気体分子運動論により導かれたが、より一般化されたボルツマン分布からも導かれる。イギリスの物理学者J.C.マクスウェルが1859年に見いだしたことにちなんで名付けられた。

マクスウェル分布

確率密度関数
累積分布関数
母数	${\displaystyle a={\sqrt {\frac {kT}{m}}}>0}$
台	${\displaystyle x\in (0;\infty )}$
確率密度関数	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {x^{2}e^{-x^{2}/\left(2a^{2}\right)}}{a^{3}}}}$
累積分布関数	${\displaystyle \operatorname {erf} \left({\frac {x}{{\sqrt {2}}a}}\right)-{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {xe^{-x^{2}/\left(2a^{2}\right)}}{a}}}$erfは誤差関数
期待値	${\displaystyle \mu =2a{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$
最頻値	${\displaystyle {\sqrt {2}}a}$
分散	${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {a^{2}(3\pi -8)}{\pi }}}$
歪度	${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {2}}(16-5\pi )}{(3\pi -8)^{3/2}}}}$
超過尖度	${\displaystyle \gamma _{2}=4{\frac {\left(-96+40\pi -3\pi ^{2}\right)}{(3\pi -8)^{2}}}}$
エントロピー	${\displaystyle \ln \left(a{\sqrt {2\pi }}\right)+\gamma -{\frac {1}{2}}}$
フィッシャー情報量	{{{フィッシャー情報量}}}

導出

気体分子運動論では、成分を v_x, v_y, v_z とする速度ベクトル v について、x 方向の速度成分 v_x の分布は、分子の質量を m、ボルツマン定数を k、絶対温度を T、係数を A として

${\displaystyle A\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}\right)}$

に従うことが知られており、この式は左右対称なつりがね状の正規分布になる。したがって、係数 A を求めるには v_x に関して積分した値が1になれば良いので^[2][3]

${\displaystyle A\int _{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}\right)\mathrm {d} v=2A\int _{0}^{+\infty }\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}\right)\mathrm {d} v=1}$

より、A = √m / 2πkT となる。したがって、x 方向の速度成分 v_x の分布は

${\displaystyle f(v_{x})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}\right)}$

となる^[2][4]。

また、x, y, z 方向の各速度の分布は互いに独立で、

${\displaystyle f(v_{x},v_{y},v_{z})=f(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})}$

が成り立つので、方向を指定しない3次元の速さ v の分布は

${\displaystyle f(v)\mathrm {d} v_{x}\mathrm {d} v_{y}\mathrm {d} v_{z}=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left(-{\frac {m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right)}{2kT}}\right)\mathrm {d} v_{x}\mathrm {d} v_{y}\mathrm {d} v_{z}}$

となる^[2]。ここで、dv_xdv_ydv_z は半径 v で厚さ dv の球殻の体積に相当するので、4πv²dv となり^[5][3]、またスカラー量である速さ v の大きさは v = √v 2
x  + v 2
y  + v 2
z  なので、マクスウェル分布は

${\displaystyle f(v)\mathrm {d} v=4\pi v^{2}\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)\mathrm {d} v}$

より

${\displaystyle f(v)=4\pi v^{2}\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)}$

となる^[6][5][4][3]。

→分子の分布が上の式に従うことの証明については「最大エントロピー原理」を参照

マクスウェル分布は一般化ガンマ分布（英語版）の一つである。

${\displaystyle f_{\text{Maxwell}}(v;a)=f_{\text{GeneralizedGamma}}(v;{\sqrt {2}}a,3,2)}$

速度分布

25℃における希ガス中での分子の速さの分布をプロットした図

分子の質量が大きく温度が低いほど分布は密になり、分子の質量が小さく温度が高いほど分布は疎になる。

導かれる速度

マクスウェル分布からは3種類の速度が導出される。

まず1つ目の速度が英語で"The most probable speed"と呼ばれる速度で、日本語では「最大確率速度^[3]」や「最確速度^[5][7]」などと呼ばれるものであり、記号で v_mp と表される。これは、マクスウェル分布の最頻値であり、グラフのピークを求めれば良いので^[5]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v}}f(v)=0}$

より^[8]

${\displaystyle v_{\mathrm {mp} }={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}}$

となる^[5][8][9]。

次に求められる速度が平均速度 v である。これはマクスウェル分布の期待値なので

${\displaystyle {\overline {v}}=\langle v\rangle =\int _{0}^{\infty }vf(v)\mathrm {d} v={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}v_{\mathrm {mp} }}$

となる^[5][8][9]。

最後に求められる速度が根二乗平均速度 v_rms である。これはマクスウェル分布のモーメントなので

${\displaystyle v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\int _{0}^{\infty }v^{2}f(v)\mathrm {d} v}}={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{\mathrm {mp} }}$

となる^[8]。

また、これら3つの速度の比は

${\displaystyle v_{\mathrm {mp} }:{\overline {v}}:v_{\mathrm {rms} }=1:{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}:{\sqrt {\frac {3}{2}}}=1:1.128:1.225}$

と表される^[9]。