ミンコフスキーの定理

ミンコフスキーの定理（英: Minkowski's theorem）は凸体の中の格子点の存在に関する定理で、原点に関して対称な凸集合は体積が十分大きいとき、必ず原点以外の格子点を有することを主張している。ヘルマン・ミンコフスキーによって証明され、二次形式の研究に用いられた。 凸体と格子点の関係に関する研究は数の幾何学へと発展し、二次形式のほか、代数体の単数やイデアル類群の性質の研究、ディオファントス近似など数論の様々な領域に応用されている。

平面 R² の原点に関して対称な凸集合が2²より大きい面積をもつならば、原点とは異なる整数点をもつ。

内容

L を R ⁿ 上の格子とし、 d (L) を L に対応する行列の行列式とする。 Rⁿ 内の、原点に関して対称で体積が ${\displaystyle 2^{n}d(L)}$ より大きい凸集合は、その内部に原点とは異なる L 上の点を有する^[1]。

特に体積が 2ⁿ より大きい、原点に関して対称な Rⁿ 内の凸集合は必ず原点とは異なる整数点を有する。

証明

R ⁿ の部分集合 S に対して V (S) を S の体積とする。 まず、次のブリクフェルトの定理（英語版）から証明する^[2]。

ブリクフェルトの定理

S を体積が d (L) より大きな凸集合とすると、S は L を法として互いに合同な2点をもつ。つまり

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\in L\setminus \{\mathbf {0} \}}$

となる ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in S}$ がとれる。これは次のように証明できる。

L の基底 ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\ldots ,\mathbf {u} _{n}}$ をとり

${\displaystyle F=\{a_{1}\mathbf {u} _{1}+a_{2}\mathbf {u} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {u} _{n}:0\leq a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}<1\}}$

をこの基底に対する L の基本領域とすると

${\displaystyle V(F)=d(L)}$

が成り立つ。

${\displaystyle \mathbf {v} =b_{1}\mathbf {u} _{1}+b_{2}\mathbf {u} _{2}+\cdots +b_{n}\mathbf {u} _{n}}$

に対して

${\displaystyle f(\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-\lfloor b_{i}\rfloor )\mathbf {u} _{i}}$

を対応させる。 f は R ⁿ から F への写像で、

${\displaystyle f(\mathbf {v} )-\mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}\lfloor b_{i}\rfloor \mathbf {u} _{i}\in L}$

が成り立つ。さらに f は平行移動の貼り合わせであらわされるから、 f が S 上で単射ならば ${\displaystyle V(f(S))=V(S)}$ となるはずである。しかし f の像は F に含まれるから

${\displaystyle V(S)>d(L)=V(F)\geq V(f(S))}$

となる。よって f は S 上単射ではないので

${\displaystyle f(\mathbf {v} _{1})=f(\mathbf {v} _{2})}$

となる点 ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in S}$ がとれる。

${\displaystyle f(\mathbf {v} _{1})-\mathbf {v} _{1},f(\mathbf {v} _{2})-\mathbf {v} _{2}\in L}$

だから

${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in S,\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}=\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}\in L}$

である。

ミンコフスキーの定理の証明

S を Rⁿ 内の、原点に関して対称で体積が ${\displaystyle 2^{n}d(L)}$ より大きい凸集合とする。

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}S=\left\{{\frac {1}{2}}\mathbf {v}$ :\mathbf {v} \in S\right\}}

とおく。${\displaystyle V(S)>2^{n}d(L)}$ だから ${\displaystyle V(T)=V(S)/2^{n}>d(L)}$ なので ブリクフェルトの定理より

${\displaystyle \mathbf {w} _{1}-\mathbf {w} _{2}\in L\setminus \{\mathbf {0} \}}$

となる2点 ${\displaystyle \mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}\in T}$ がとれる。 ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=2\mathbf {w} _{1},\mathbf {u} =2\mathbf {w} _{2}\in S}$ が成り立ち、 S は原点に関して対称だから ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=-\mathbf {u} =-2\mathbf {w} _{2}\in S}$ も成り立つ。 S は凸集合なので ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})\in S}$ である。一方で

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})=\mathbf {w} _{1}-\mathbf {w} _{2}\in L\setminus \{\mathbf {0} \}}$

であるから S は原点とは異なる L 上の点 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ を有する。

系

ミンコフスキーの定理の系として、一次形式に関する次の定理が導かれる。

${\displaystyle l_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\qquad (i=1,2,\ldots ,n)}$

を n =r +2s 個の一次形式とし、そのうち l₁, l₂, ..., l_r は実係数を持ち、 l _{r +j} と l _{r +s +j} ( j = 1, 2, ..., s ) は互いに共役なものとする。さらに係数の行列式 Δ ≠ 0 とする。

ここで k₁, k₂, ..., k_{r +s} が実数で

${\displaystyle k_{1}k_{2}\cdots k_{r}(k_{r+1}k_{r+2}\cdots k_{r+s})^{2}\geq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}|\Delta |}$

を満たすならば、

${\displaystyle |l_{i}|\leq k_{i}\qquad (i=1,2,\ldots ,r+s)}$

となる整数 x₁, x₂, ..., x_n が存在する。

また k₁, k₂, ..., k_{r +s} が実数で

${\displaystyle k_{1}k_{2}\cdots k_{r}(k_{r+1}k_{r+2}\cdots k_{r+s})^{2}\geq \left({\frac {4}{\pi }}\right)^{s}{\frac {n!}{n^{n}}}|\Delta |}$

を満たすならば、

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}|l_{i}|\leq |\Delta |}$

となる整数 x₁, x₂, ..., x_n が存在する。

応用

ミンコフスキーはこの定理を二次形式の簡約化に用いた。さらに、整数を二次形式によって現す問題にも応用されている。 たとえばフェルマーの二平方定理は円盤内のある格子上の点の問題に、ラグランジュの四平方定理は4次元空間の超球体内のある格子上の点の存在に帰着させることで、ミンコフスキーの定理を用いて証明することができる^[3]。

ミンコフスキーの定理の系から、r 個の実共役と 2s 個の（つまり s 対の共役対からなる）複素共役をもつ n =r +2s 次の、判別式 Δ をもつ代数体の イデアル類群のそれぞれの類はノルムが

${\displaystyle \left({\frac {4}{\pi }}\right)^{s}{\frac {n!}{n^{n}}}|\Delta |}$

を超えない（整）イデアルを含むことが従う。これをミンコフスキー限界という。

二平方定理の証明

上記のようにミンコフスキーの定理からフェルマーの二平方和定理を証明することができる^[4]。 実際 p を ${\displaystyle 4n+1}$ の形の素数とすると

${\displaystyle t^{2}+1\equiv 0{\pmod {p}}}$

となる t がとれる（p を法として位数4の剰余類から数をひとつ選べばよい）。

${\displaystyle y\equiv tx{\pmod {p}}}$

となる点 ${\displaystyle (x,y)}$ 全体は ${\displaystyle (1,t),(0,p)}$ を基底とする格子 L と一致し、${\displaystyle d(L)=p}$ が成り立つ。 原点を中心とする半径 ${\displaystyle {\sqrt {2p}}}$ の開円盤は面積 ${\displaystyle 2\pi p>4p}$ の、原点に関して対称な凸集合であるからミンコフスキーの定理より、原点とは異なる L の格子点 ${\displaystyle (a,b)}$ を含む。

${\displaystyle b\equiv ta{\pmod {p}}}$

であるから

${\displaystyle a^{2}+b^{2}\equiv a^{2}(1+t^{2})\equiv 0{\pmod {p}}}$

である。一方 ${\displaystyle (a,b)}$ は原点ではなく、かつ原点からの距離は ${\displaystyle {\sqrt {2p}}}$ より小さいから

${\displaystyle 0<a^{2}+b^{2}<2p}$

である。よって

${\displaystyle p=a^{2}+b^{2}}$

が成り立ち、 p は2つの平方数の和であらわされる。