ランプ関数

ランプ関数（英: ramp function）とは、一変数の実関数であり、独立変数とその絶対値の平均として容易に求められる。区分線形関数。

ランプ関数のグラフ

この関数は工学において（DSPの理論など）応用を持つ。"ramp function"の名は、グラフの形状が傾斜路（英: ramp）に似ていることに由来する。

定義

ランプ関数 R(x) : R → R には幾つかの同値な定義が存在する。

• 場合分け

  ${\displaystyle R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0\\0,&x<0\end{cases}}}$

• 指数 1 の切断冪関数

  ${\displaystyle R(x):=x_{+}}$

• 最大値関数

  ${\displaystyle R(x):=\max(x,0)}$

• 傾きが1の直線とその絶対値との平均^[1]

  ${\displaystyle R(x):={\frac {x+|x|}{2}}}$

• 傾きが1の直線とヘビサイド関数との積

  ${\displaystyle R\left(x\right):=xH\left(x\right)}$

• ヘビサイド関数とそれ自身の畳み込み

  ${\displaystyle R\left(x\right):=H\left(x\right)*H\left(x\right)}$

• ヘビサイド関数の積分

  ${\displaystyle R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\mathrm {d} \xi }$

• マコーレーの括弧

  ${\displaystyle R(x):=\langle x\rangle }$

解析的性質

非負性

ランプ関数は定義域全体で非負となる。

${\displaystyle \forall x\in \mathbf {R} :R(x)\geq 0}$

そのため、関数の値はその絶対値に等しい。

${\displaystyle |R(x)|=R(x)}$

導関数

ランプ関数の導関数はヘビサイド関数に等しい。

${\displaystyle R'(x)=H(x)\ \mathrm {if} \ x\neq 0}$

二階導関数

ランプ関数は次の微分方程式を満たす。但し δ(x) はディラックのデルタ関数である。

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}}{\operatorname {d} x^{2}}}R(x-x_{0})=\delta (x-x_{0})}$

これは、R(x) が二階微分作用素のグリーン関数であることを意味する。これにより、可積分な二階導関数 f′′(x) を持つ任意の関数 f(x) は、a < x < b のとき次の方程式を満たす。

${\displaystyle f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{b}R(x-s)f''(s)\operatorname {d} s}$

フーリエ変換

ランプ関数のフーリエ変換は次の通りとなる。

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{R(x)\right\}(f)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}dx}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}}}$

ここで δ(x) は ディラックのデルタ関数（式中では導関数が使用されていることに注意）。

ラプラス変換

ランプ関数の片側ラプラス変換は次の通りとなる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{R\left(x\right)\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.}$

代数的性質

冪等性

ランプ関数の任意の反復合成はランプ関数に等しい。^[2]

${\displaystyle R(R(x))=R(x)}$