切断冪関数

数学における冪指数 n の切断冪関数（せつだんべきかんすう、英: truncated power function）は

${\displaystyle x_{+}^{n}:={\begin{cases}x^{n}&\ (x>0),\\0&\ (x\leq 0)\end{cases}}}$

で定義される^[1]。特に n = 1 のとき

${\displaystyle x_{+}:={\begin{cases}x&\ (x>0),\\0&\ (x\leq 0)\end{cases}}}$

ゆえ、切断冪函数の冪指数 n は通常の冪として理解できる。

例

• 指数 0 の切断冪函数は単位ステップ関数:

  ${\displaystyle x_{+}^{0}={\begin{cases}1&\ (x>0),\\0&\ (x\leq 0).\end{cases}}}$

ランプ関数

• 指数 1 の切断冪函数はランプ関数:

  ${\displaystyle x_{+}^{1}={\begin{cases}x&\ (x>0),\\0&\ (x\leq 0).\end{cases}}}$

性質

• 切断冪関数はBスプラインに使われる。n乗の切断冪関数がn次Bスプラインで使われる。
• ${\displaystyle \chi _{[a,b)}(x)=(b-x)_{+}^{0}-(a-x)_{+}^{0}}$ 。ただし、${\displaystyle \chi }$ は指示関数。
• 切断冪函数は細分可能（英語版）である。