リュイリエの定理

リュイリエの定理（英: L'Huilier's theorem) とは、初等幾何学における三角形についての定理で、1809年に^[1]スイスの数学者サイモン・アントワーヌ・ジャン・リュイリエによって提唱されたものである。

定理

リュイリエの定理 ― 三角形の内接円の半径を ${\displaystyle r}$、3つの傍接円の半径をそれぞれ ${\displaystyle r_{\text{A}},r_{\text{B}},r_{\text{C}}}$ とすると、

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{\text{A}}}}+{\frac {1}{r_{\text{B}}}}+{\frac {1}{r_{\text{C}}}}}$

証明

面積S の三角形の3辺を a, b, c とする。

内接円の半径r の逆数は

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {a+b+c}{2S}}}$

3傍接円の半径 r_A, r_B, r_C の逆数は

${\displaystyle {\frac {1}{r_{\text{A}}}}={\frac {-a+b+c}{2S}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{r_{\text{B}}}}={\frac {a-b+c}{2S}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{r_{\text{C}}}}={\frac {a+b-c}{2S}}}$

故に逆数和は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r_{\text{A}}}}+{\frac {1}{r_{\text{B}}}}+{\frac {1}{r_{\text{C}}}}&={\frac {-a+b+c}{2S}}+{\frac {a-b+c}{2S}}+{\frac {a+b-c}{2S}}\\&={\frac {a+b+c}{2S}}={\frac {1}{r}}\end{aligned}}}$

となる。

派生項目

リュイリエは、彼の著書 (Lhuilier, 1809) において

${\displaystyle S={\sqrt {r\cdot r_{\text{A}}\cdot r_{\text{B}}\cdot r_{\text{C}}{\vphantom {A}}}}}$

であることも示唆している。

これより

${\displaystyle r_{\text{A}}\,r_{\text{B}}\,r_{\text{C}}={\frac {S^{2}}{r}}}$

であるから、リュイリエの定理：

${\displaystyle {\frac {1}{r_{\text{A}}}}+{\frac {1}{r_{\text{B}}}}+{\frac {1}{r_{\text{C}}}}={\frac {1}{r}}}$

と辺々掛け合わせると

${\displaystyle r_{\text{B}}\,r_{\text{C}}+r_{\text{C}}\,r_{\text{A}}+r_{\text{A}}\,r_{\text{B}}=s^{2}}$

が得られる。ここで s は △ABC の半周長 (a + b + c)/2 である。この等式は、カール・フォイエルバッハが1822年に得たものである^[1][2]。