シェルピンスキー数

シェルピンスキー数（シェルピンスキーすう、Sierpinski number）とは、全ての自然数 n に対して k × 2ⁿ + 1 が合成数（素数ではない 2 以上の整数）となるような正の奇数 k のことである。

言い換えると、k がシェルピンスキー数ならば次の集合の元は全て合成数となる。

${\displaystyle \left\{\,k\times 2^{n}+1:n\in \mathbb {N} \,\right\}}$

1960年に、ポーランドの数学者ヴァツワフ・シェルピンスキ (Waclaw Sierpinski, 1882–1969) は、全ての n について k × 2ⁿ + 1 が決して素数とならない正の奇数 k が無限にあることを証明した。

1962年に、ジョン・セルフリッジ (John Selfridge) は 78557 がシェルピンスキー数であることを示した。つまり、S_n = 78557 × 2ⁿ + 1 は常に合成数となる。なぜならば、簡単な議論によって S_n は 3, 5, 7, 13, 19, 37, 73 のいずれかで割り切れることが分かるからである。例えば n が偶数ならば S_n は 3 で割り切れ、n が 4 で割って 1 余る数ならば S_n は 5 で割り切れる。

知られているシェルピンスキー数は以下のように続く。

78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, … （オンライン整数列大辞典の数列 A076336）

シェルピンスキーの問題

78557 がシェルピンスキー数であることは証明されているが、この数が最小のシェルピンスキー数であるかどうかはまだ分かっていない。最小のシェルピンスキー数を求める問題を、シェルピンスキーの問題という。

Seventeen or Bust

Seventeen or Bust により発見された素数

k	n	k × 2n+1 の桁数	発見日
46157	698207	210,186	2002年11月27日
65567	1013803	305,190	2002年12月3日
44131	995972	299,823	2002年12月6日
69109	1157446	348,431	2002年12月7日
54767	1337287	402,569	2002年12月22日
5359	5054502	1,521,561	2003年12月6日
28433	7830457	2,357,207	2004年12月30日
27653	9167433	2,759,677	2005年6月8日
4847	3321063	999,744	2005年10月15日
19249	13018586	3,918,990	2007年5月5日
33661	7031232	2,116,617	2007年10月30日
10223	31172165	9,383,761	2016年10月31日

分散コンピューティングによるプロジェクト "Seventeen or Bust" では、シェルピンスキーの問題の解決を目的として、78557 より小さいシェルピンスキー数の候補に対して素数の検索を行っている。プロジェクト名の由来は、プロジェクトを開始した2002年3月の時点で17個の候補があったためである。検索している全ての候補について素数が発見されたならば 78557 が最小のシェルピンスキー数ということになる。

このプロジェクトにより、2016年10月の時点で12個の素数が発見されており、2016年11月現在、素数となる数が見つかっていない k は、21181, 22699, 24737, 55459, 67607 の5個である。

2004年12月30日には、k = 28433 の系列で2,357,207桁の素数 28433 × 2^7830457 + 1 が発見された。発見時には、38番目のメルセンヌ素数である 2^6972593 - 1（2,098,960桁）を抜いて、当時知られていた素数の中では4番目に大きなものとして記録された。2007年5月5日には、k = 19249 の系列で3,918,990桁の素数 19249 × 2^13018586 + 1 が発見された。2012年6月の時点で知られている素数の中では10番目に大きい（9番目までは全てメルセンヌ素数）。

2016年10月31日には、k = 10223 の系列で9,383,761桁の素数 10223 × 2^31172165 + 1 が発見された。2016年11月の時点で知られている素数の中では7番目に大きい（6番目までは全てメルセンヌ素数）。^[1]。

リーゼル数

リーゼル数 (Riesel number) とは、シェルピンスキー数と似た定義の数であり、全ての自然数 n に対して k × 2ⁿ − 1 が合成数となる正の奇数 k である。スウェーデンの数学者ハンス・リーゼルに因む。知られているリーゼル数は

509203, 762701, 777149, 790841, 992077, … (A101036)

と続く。509203 が最小のリーゼル数かどうかは知られていない。シェルピンスキー数に対する Seventeen or Bust と同様の取り組みとして、リーゼル数に対しては Riesel Sieve Project が立ち上げられ、その後 PrimeGrid が作業を引き継いでいる。509203 より小さく、k × 2ⁿ − 1 の形で素数となるものが見つかっていない k は2020年12月の時点で48個ある^[2][3]。

ブリエ数

ブリエ数 (Brier number) とは、シェルピンスキー数でもあり、リーゼル数でもある数である。つまり、全ての自然数 n に対して k × 2ⁿ + 1 および k × 2ⁿ − 1 が合成数となる正の奇数 k のことである。

知られているブリエ数は 3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, … (A076335) と続く。これより小さなブリエ数があるかどうかは分かっていない。