代数的内部

数学の一分野である函数解析学において、ベクトル空間の部分集合の代数的内部（だいすうてきないぶ、英: algebraic interior）あるいは動径核（radial kernel）は、集合の内部を細緻化する概念である。与えられた集合の代数的内部とは、その集合に属する点であって、その点を原点としてもとの集合が併呑となるような点、すなわちその集合の動径点（英語版）^[1]の全体である。代数的内部の元は、しばしば（代数的）内点（internal points）と呼ばれる^[2][3]。

具体的に、${\displaystyle X}$ が線型空間であるとき、${\displaystyle A\subseteq X}$ の代数的内部は次で定義される。

${\displaystyle \operatorname {core} (A):=\left\{x_{0}\in A:\forall x\in X,\,\exists t_{x}>0,\,\forall t\in [0,t_{x}],\,x_{0}+tx\in A\right\}.}$^[4]

一般に ${\displaystyle \operatorname {core} (A)\neq \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}$ であることに注意されたい。しかし ${\displaystyle A}$ が凸集合であるなら、${\displaystyle \operatorname {core} (A)=\operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}$ である。また ${\displaystyle A}$ が凸集合であるときは、${\displaystyle x_{0}\in \operatorname {core} (A),y\in A,0<\lambda \leq 1}$ に対して ${\displaystyle \lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {core} (A)}$ が成立する。

例

${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{2}}$ が ${\displaystyle A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{ or }}x_{2}\leq 0\}}$ で与えられるなら、${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A)}$ である。しかし、${\displaystyle 0\not \in \operatorname {int} (A)}$ および ${\displaystyle 0\not \in \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}$ である。

性質

${\displaystyle A,B\subset X}$ であるなら、次が成り立つ。

• ${\displaystyle A}$ が併呑集合であるための必要十分条件は、${\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A)}$ である^[1]。
• ${\displaystyle A+\operatorname {core} B\subset \operatorname {core} (A+B)}$^[5]
• ${\displaystyle B=\operatorname {core} B}$^[5] であるなら、${\displaystyle A+\operatorname {core} B=\operatorname {core} (A+B)}$ である^[5]。

内部との関係

${\displaystyle X}$ を線型位相空間とし、${\displaystyle \operatorname {int} }$ を内部作用素とし、${\displaystyle A\subset X}$ とする。このとき次が成り立つ：

• ${\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {core} A}$
• ${\displaystyle A}$ が空でない凸集合で、${\displaystyle X}$ が有限次元であるなら、${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}$ である^[2]。
• ${\displaystyle A}$ が凸集合で、その内部が空でないなら、${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}$である^[6]。
• ${\displaystyle A}$ が閉凸集合で、${\displaystyle X}$ が完備距離空間であるなら、${\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}$である^[7]。