関数解析学

関数解析学（かんすうかいせきがく、英: functional analysis、仏: Analyse fonctionnelle、函数解析学とも書かれる。別名は位相解析学。）は数学（特に解析学）の一分野で、フーリエ変換や微分方程式、積分方程式などの研究に端を発している^[1]^[2]^[3]^[4]。特定のクラスの関数からなるベクトル空間にある種の位相構造を定めた関数空間や、その公理化によって得られる線形位相空間の構造が研究される^[1]^[2]^[3]^[4]。主な興味の対象は、様々な関数空間上で積分や微分によって定義される線型作用素の振る舞いを通じた積分方程式や微分方程式の線型代数学的取り扱いであり、無限次元ベクトル空間上の線型代数学と捉えられることも多い^[1]^[2]^[3]。また、無限次元空間上での微分 (フレシェ微分など) を扱うため、無限次元空間上での微分積分学という捉え方も可能である^[4]。

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名前の由来

1880年代に変分法の研究の中で関数の集合から実数への写像という考え方が出てきた^[5]。この写像をヴォルテラは汎関数（functional）と呼んだ。ピンケルレ、ヴォルテラ、アスコリ（英語版）、アルツェラ（英語版）などのイタリアの数学者たちは、汎関数の解析学の構築をもくろんだ。フランスのポール・レヴィがこの解析学の一分野を関数解析（functional analysis）と呼ぶようになり、この用語が定着した。

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