半局所環

ジャコブソン根基に含まれるイデアルによって定義された位相を持ったネーター環という古い意味については「ザリスキ環」をご覧ください。

数学において、半局所環 (semi-local ring) は R/J(R) が半単純環であるような環 R である。ここで J(R) は環 R のジャコブソン根基である^[1][2]。

この条件は R の極大右（左）イデアルが有限個であれば満たされる^[3]。さらに環 R が可換のときには逆も成り立つため^[3]、可換環に対して半局所環はしばしば「極大イデアルが有限個である環」と定義される。

いくつかの文献では一般の可換半局所環を擬半局所環 (quasi-semi-local ring) と呼び、極大イデアルが有限個のネーター環を半局所環と呼んでいる。

したがって半局所環は、極大（右／左／両側）イデアルをただひとつだけもつ局所環よりも一般的である。

例

• 任意の右あるいは左アルティン環、任意の serial ring（英語版）, 任意の半完全環は半局所環である。
• 剰余環 ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ は半局所環である。とくに、${\displaystyle m}$ が素冪であれば、${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ は局所環である。
• 有限個の体の直和 ${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}{F_{i}}}$ は半局所環である。
• 単位元を持つ可換環の場合には、この例は次のような意味でプロトタイプである。すなわち、中国の剰余定理によって、極大イデアルが m₁, ..., m_n である単位的可換半局所環 R に対し、

${\displaystyle R/\bigcap _{i=1}^{n}m_{i}\cong \bigoplus _{i=1}^{n}R/m_{i}\,}$

である。（写像は自然な射影）。右辺は体の直和である。ここで ∩_i m_i = J(R) であることに注意すると、R/J(R) は実際半局所環であることがわかる。

• 任意の可換ネーター環に対するclassical ring of quotients（英語版）は半局所環である。
• アルティン加群の自己準同型環は半局所環である。
• 半局所環は例えば代数幾何学において（可換）環 R が積閉集合 ${\displaystyle S=\bigcap (R\setminus p_{i}),}$ ただし p_i たちは有限個の素イデアル、によって局所化されるときに生じる。