単位行列

数学、特に線型代数学において、単位行列（たんいぎょうれつ、英: identity matrix, 独: Einheitsmatrix）とは、単位的環上で定義される同じ型の正方行列同士の、積演算における単位元のことである。

「行列単位」とは異なります。

構成

単位行列はその対角成分に 1 が並び、他は全て 0 となる。行列要素を a_{i, j} とすると次のように書ける。

${\displaystyle a_{i,j}=\left\{{\begin{matrix}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{matrix}}\right.}$

ただし、1, 0 は係数環の単位元と零元である。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

表記法

n次単位行列は E_n や I_n と記述されることが多い。混乱の恐れがないときには、単に E や I とも書かれる。

対角行列の記法を用いて I_n = diag(1, 1, …, 1) と書ける。

クロネッカーのデルタを用いると、E_n = (δ_i,j) と表すことができる。

性質

• 単位元である (AI = IA = A)
• 正方行列である
• 対角行列である
• 対称行列である
• 逆行列は自分自身である (I⁻¹ = I)
• 固有値はすべて1
• 特異値はすべて1
• 行列式は1 (det(I) = 1）

スカラー行列との関連

単位行列をスカラー倍したものをスカラー行列という。スカラーにスカラー行列を対応させる写像が単射ならば、係数環は行列群（線型代数群）あるいは行列環に部分群・部分環として埋め込まれ、係数環の中心は行列群あるいは行列環の中心に入る。特に可換体上の n次全行列環の中心は、埋め込まれた係数体そのもので、これを全行列環は係数体上中心的であるという。

外部リンク

• 『単位行列』 - コトバンク
• 『単位行列の意味と性質，1との比較』 - 高校数学の美しい物語