周期関数の一覧

この記事は、周期関数の一覧である。なお、定数関数f (x) = cは、任意の周期について周期的であるが、最小の周期である基本周期を持たないため、掲載していない。また、複数の定義があるいくつかの関数については、一つの定義のみを掲載している。

滑らかな関数

列挙されている三角関数は、特に断りのない限り周期は${\displaystyle 2\pi }$である。また、U_n は n番目の タンジェント数またはセカント数^{[注 1]}を、B_n は n番目の ベルヌーイ数を表し、ヤコビの楕円関数において${\displaystyle q=e^{-\pi {\frac {K(1-m)}{K(m)}}}}$とする。

名前	表記	式 [注 2]	フーリエ級数
正弦	${\displaystyle \sin(x)}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$	${\displaystyle \sin(x)}$
cas関数	${\displaystyle \operatorname {cas} (x)}$	${\displaystyle \sin(x)+\cos(x)}$	${\displaystyle \sin(x)+\cos(x)}$
余弦	${\displaystyle \cos(x)}$	${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}$	${\displaystyle \cos(x)}$
cis関数	${\displaystyle e^{ix},\operatorname {cis} (x)}$	cos(x) + i sin(x)	${\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)}$
正接	${\displaystyle \tan(x)}$	${\displaystyle {\frac {\sin x}{\cos x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$	${\displaystyle 2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\sin(2nx)}$ [1]
余接	${\displaystyle \cot(x)}$	${\displaystyle {\frac {\cos x}{\sin x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}}$	${\displaystyle i+2i\sum _{n=1}^{\infty }(\cos 2nx-i\sin 2nx)}$ [要出典]
正割	${\displaystyle \sec(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}}$	-
余割	${\displaystyle \csc(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sin x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}}$	-
外正割（剰正割）	${\displaystyle \operatorname {exsec} (x)}$	${\displaystyle \sec(x)-1}$	-
外余割（剰余割）	${\displaystyle \operatorname {excsc} (x)}$	${\displaystyle \csc(x)-1}$	-
正矢	${\displaystyle \operatorname {versin} (x)}$	${\displaystyle 1-\cos(x)}$	${\displaystyle 1-\cos(x)}$
残正矢	${\displaystyle \operatorname {vercosin} (x)}$	${\displaystyle 1+\cos(x)}$	${\displaystyle 1+\cos(x)}$
余矢	${\displaystyle \operatorname {coversin} (x)}$	${\displaystyle 1-\sin(x)}$	${\displaystyle 1-\sin(x)}$
残余矢	${\displaystyle \operatorname {covercosin} (x)}$	${\displaystyle 1+\sin(x)}$	${\displaystyle 1+\sin(x)}$
半正矢	${\displaystyle \operatorname {haversin} (x)}$	${\displaystyle {\frac {1-\cos(x)}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos(x)}$
半残正矢	${\displaystyle \operatorname {havercosin} (x)}$	${\displaystyle {\frac {1+\cos(x)}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\cos(x)}$
半余矢	${\displaystyle \operatorname {hacoversin} (x)}$	${\displaystyle {\frac {1-\sin(x)}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\sin(x)}$
半残余矢	${\displaystyle \operatorname {hacovercosin} (x)}$	${\displaystyle {\frac {1+\sin(x)}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sin(x)}$
ヤコビの楕円関数 sn	${\displaystyle \operatorname {sn} (x,m)}$	${\displaystyle \sin \operatorname {am} (x,m)}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{K(m){\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}~\sin {\frac {(2n+1)\pi x}{2K(m)}}}$
ヤコビの楕円関数 cn	${\displaystyle \operatorname {cn} (x,m)}$	${\displaystyle \cos \operatorname {am} (x,m)}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{K(m){\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}~\cos {\frac {(2n+1)\pi x}{2K(m)}}}$
ヤコビの楕円関数 dn	${\displaystyle \operatorname {dn} (x,m)}$	${\displaystyle {\sqrt {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x,m)}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2K(m)}}+{\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}~\cos {\frac {n\pi x}{K(m)}}}$
ヤコビの楕円関数 zn	${\displaystyle \operatorname {zn} (x,m)}$	${\displaystyle \int _{0}^{x}\left[\operatorname {dn} (t,m)^{2}-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right]dt}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{2n}}}~\sin {\frac {n\pi x}{K(m)}}}$
ヴァイエルシュトラスの楕円関数	${\displaystyle \wp (x,\Lambda )}$	${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda -\{0\}}\left[{\frac {1}{(x-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right]}$	${\displaystyle }$
クラウゼン関数	${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(x)}$	${\displaystyle -\int _{0}^{x}\ln \left|2\sin {\frac {t}{2}}\right|dt}$	${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin kx}{k^{2}}}}$

滑らかでない関数[注 3]

以下の関数は周期 ${\displaystyle p}$ を持ち、引数として ${\displaystyle x}$ を取る。また、 ${\displaystyle \lfloor n\rfloor }$ は${\displaystyle n}$の床関数であり、${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ は符号関数である。Kは楕円積分K(m)を表すものとする。

名前	式	極限	フーリエ級数	備考
三角波	${\displaystyle {\frac {4}{p}}\left(x-{\frac {p}{2}}\left\lfloor {\frac {2x}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)(-1)^{\left\lfloor {\frac {2x}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }}$	${\displaystyle \lim _{m\rightarrow 1^{-}}\operatorname {zs} \left({\frac {4Kx}{p}}-K,m\right)}$	${\displaystyle {\frac {8}{\pi ^{2}}}\sum _{n\,\mathrm {odd} }^{\infty }{\frac {(-1)^{(n-1)/2}}{n^{2}}}\sin \left({\frac {2\pi nx}{p}}\right)}$	非連続第一次導関数
ノコギリ波	${\displaystyle 2\left({\frac {x}{p}}-\left\lfloor {\frac {1}{2}}+{\frac {x}{p}}\right\rfloor \right)}$	${\displaystyle -\lim _{m\rightarrow 1^{-}}\operatorname {zn} \left({\frac {2Kx}{p}}+K,m\right)}$	${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sin \left({\frac {2\pi nx}{p}}\right)}$	非連続
方形波	${\displaystyle \operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {2\pi x}{p}}\right)}$	${\displaystyle \lim _{m\rightarrow 1^{-}}\operatorname {sn} \left({\frac {4Kx}{p}},m\right)}$	${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}\sum _{n\,\mathrm {odd} }^{\infty }{\frac {1}{n}}\sin \left({\frac {2\pi nx}{p}}\right)}$	非連続
パルス波	${\displaystyle H\left(\cos {\frac {2\pi x}{p}}-\cos {\frac {\pi t}{p}}\right)}$ ${\displaystyle H}$ は ヘヴィサイドの階段関数であり、 t は パルス波が1である時間を表す。		${\displaystyle {\frac {t}{p}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n\pi }}\sin \left({\frac {\pi nt}{p}}\right)\cos \left({\frac {2\pi nx}{p}}\right)}$	非連続
振幅A、周期p/2の正弦波の大きさ	${\displaystyle A\left|\sin {\frac {\pi x}{p}}\right|}$		${\displaystyle {\frac {4A}{2\pi }}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4A}{\pi }}{\frac {1}{4n^{2}-1}}\cos {\frac {2\pi nx}{p}}}$ [2]:p. 193	非連続
サイクロイド	${\displaystyle {\frac {p-p\cos \left(f^{(-1)}\left({\frac {2\pi x}{p}}\right)\right)}{2\pi }}}$ ${\displaystyle f(x)=x-\sin(x)}$ であり、 ${\displaystyle f^{(-1)}(x)}$ は その実数上の逆関数である。		${\displaystyle {\frac {p}{\pi }}{\biggl (}{\frac {3}{4}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {J} _{n}(n)-\operatorname {J} _{n-1}(n)}{n}}\cos {\frac {2\pi nx}{p}}{\biggr )}}$ ${\displaystyle \operatorname {J} _{n}(x)}$ は 第一種ベッセル関数 である。	非連続第一次導関数
くし型関数	${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-np)}$	${\displaystyle \lim _{m\rightarrow 1^{-}}{\frac {2K(m)}{p\pi }}\operatorname {dn} \left({\frac {2Kx}{p}},m\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{p}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2n\pi ix}{p}}}$	非連続
ディリクレ関数	${\displaystyle {\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\notin \mathbb {Q} \end{cases}}}}$	${\displaystyle \lim _{m,n\rightarrow \infty }\cos ^{2m}(n!x\pi )}$	-	非連続

ベクトル値関数

• エピトロコイド
• エピサイクロイド (エピトロコイドの特別な場合)
• パスカルの蝸牛形 (エピトロコイドの特別な場合)
• ハイポトロコイド
• ハイポサイクロイド (ハイポトロコイドの特別な場合)
• スピログラフ (ハイポトロコイドの特別な場合)

二重周期関数

• ヤコビの楕円関数
• ヴァイエルシュトラスの楕円関数