多変数の微分

多変数の微分（たへんすうのびぶん）^[1][2][3][4]は、多変数関数を、局所的に線形写像（ヤコビ行列）で近似する手法である。本記事では、多変数微分の理論的な側面について解説する。

数ベクトル空間についての補足

数ベクトル空間

n 次元実数ベクトル空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ とは、集合としては

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}x_{1},\cdots ,{{x}_{n}}\in \mathbb {R} \\\end{matrix}}\right.\right\}\right.}$　　　　　　　　(1-2)

である。つまり n 個の実数 ${\displaystyle {{x}_{1}}\ ,\ \cdots \ ,\ {{x}_{n}}}$ を用いて

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)}$　　(1-3)

の形で表せるもの全てを集めてきたものである。 特に、以下で定まる ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ を、第 i 標準ベクトルという。

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=\left({\begin{matrix}1\\\vdots \\0\\\end{matrix}}\right),\ \cdots ,\mathbf {e} _{n}=\left({\begin{matrix}0\\\vdots \\1\\\end{matrix}}\right)}$　　　　(1-8)

である。

標準座標系

次に ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ の標準座標系を定義する。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ に対し、

${\displaystyle {\textit {r}}_{j}(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} \ |\ \mathbf {e} _{j}\rangle }$　　　　(1-6)

とし、これを ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ の第 j 座標関数という。ここで ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ は内積を表す。つまり、

${\displaystyle {\textit {r}}_{j}\left(\left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)\right)=x_{j}}$　　　　(1-7)

である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 標準座標系とは、${\displaystyle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{n}}$ の組 ${\displaystyle \langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{n}\rangle }$ のことである^[4]。当然、

${\displaystyle {\textbf {x}}=\left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)=\sum \limits _{j=1}^{n}r_{j}(\mathbf {x} ){\textbf {e}}_{j}}$　　　　(1-9)

が成立する。${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ にも、同様に、${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\cdots ,\mathbf {e} _{m}}$ や、標準座標系 ${\displaystyle \langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{m}\rangle }$ が定まっている。

さて、次節にて、多変数ベクトル値関数を考えるが、定義域側 (${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) の標準座標系を ${\displaystyle \langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{n}\rangle }$ と表記し、値域側 (${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$) の標準座標系も ${\displaystyle \langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{m}\rangle }$ と表記していては紛らわしいので、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ の標準座標系を ${\displaystyle \langle {\textit {x}}_{1},{\textit {x}}_{2},\cdots ,{\textit {x}}_{n}\rangle }$と書くことにする。つまり、

${\displaystyle {\begin{aligned}&x_{j}(\mathbf {x} )=r_{j}(\mathbf {x} )\\&y_{i}(\mathbf {y} )=r_{i}(\mathbf {y} )\end{aligned}}}$　　　　(1-10)

とする。^{[注 1]} 以降、「${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ に、標準座標系 ${\displaystyle \rangle x_{1},\cdots ,x_{n}\langle }$ が定まっているとする」と宣言した場合には、式 (1-10) のように考えることにする。

多変数ベクトル値関数

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ に標準座標系 ${\displaystyle \langle {\textit {x}}_{1},\cdots ,{\textit {x}}_{n}\rangle }$ が定まっているとし、${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ に標準座標系 ${\displaystyle \langle {\textit {y}}_{1},\cdots ,{\textit {y}}_{m}\rangle }$が定まっているとする。

${\displaystyle {\textbf {D}}}$ を ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ の部分集合とし、

${\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)}$　　　　(1-1)

を、${\displaystyle {\textbf {D}}}$ 上で定義された ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ に値を取る多変数ベクトル値関数という。

以降 ${\displaystyle f_{i}}$ は ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ の第 i 成分を表す。${\displaystyle f_{i}}$ は以下の性質を満たす。

${\displaystyle f_{i}(\mathbf {x} )=y_{i}\circ \mathbf {f} (\mathbf {x} )=y_{i}(\mathbf {f} (\mathbf {x} ))=\langle \mathbf {e} _{i}|\mathbf {f} (\mathbf {x} )\rangle }$　　　　(1-11)

${\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)=\sum \limits _{i=1}^{m}f_{i}(\mathbf {x} )\mathbf {e} _{i}}$

偏微分

設定

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ に、標準座標系 ${\displaystyle \langle {\textit {x}}_{1},\cdots ,{\textit {x}}_{n}\rangle }$ が定まっているとし、${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ に、標準座標系 ${\displaystyle \langle {\textit {y}}_{1},\cdots ,{\textit {y}}_{m}\rangle }$ が定まっているとする。 ${\displaystyle {\textbf {D}}}$ を、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ の開集合とし、

${\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)}$　　　　(1-1)

を、${\displaystyle {\textbf {D}}}$ 上で定義された ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ に値を取る多変数ベクトル値関数とする。 ここで ${\displaystyle {{f}_{i}}}$ は ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ の第 i 成分を表す。

偏微分の定義

${\displaystyle {\textbf {p}}}$ を ${\displaystyle {\textbf {D}}}$ 内の点とし、${\displaystyle {\textbf {a}}}$ を ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ のベクトルとする（${\displaystyle {\textbf {p}}}$ は ${\displaystyle {\textbf {p}}\in {\textbf {D}}}$ でなければならないが ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ は ${\displaystyle {\textbf {a}}\notin {\textbf {D}}}$であってよい）。

${\displaystyle {\textbf {p}}}$, ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ は固定されているものとする。

このとき、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ が ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ について偏微分可能であるとは、以下の極限値

${\displaystyle {\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\,\,\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}}$　　　　(1-4)

が存在することを意味する。

このとき ${\displaystyle {\textbf {f}}}$の${\displaystyle {\textbf {p}}}$における、${\displaystyle {\textbf {a}}}$ について偏微分商、 ${\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}\mathbf {f} \right|}_{[\mathbf {p} ]}}$ を、以下のように定義する^{[注 2]}。

${\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}\mathbf {f} \right|}_{[\mathbf {p} ]}\ =\ {\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\,\,\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}}$　　　(1-5)

成分関数の微分可能性

${\displaystyle {\textbf {f}}}$ の第 i 成分 ${\displaystyle {f}_{i}}$ は以下の等式を満たす。

${\displaystyle f_{i}(\mathbf {x} )=y_{i}\circ \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\langle \mathbf {e} _{i}\ |\ \mathbf {f} (\mathbf {x} )\rangle }$　　　　(1-11)

上式において ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ は内積を意味する。

式 (1-10), (1-11) を用いて、${\displaystyle {f}_{i}}$ を（(1-5) の定義式通りに）${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ について偏微分することを考える。 ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ が ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ について偏微分可能ならば、${\displaystyle f_{i}}$ は ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ について偏微分可能で、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{i}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&={\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\,\,{f}_{i}(\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-{f}_{i}(\mathbf {p} )}{t}}\\&={\textbf {e}}_{i}\cdot \left({\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,\,\left({\frac {\,\,\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}\right)\right)\\&={}^{t}{\textbf {e}}_{i}\cdot {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&={\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\cdot {\textbf {e}}_{i}\end{aligned}}}$　　　　(1-12)

が成立する。

逆に、式(1-1)より、

${\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)=\sum \limits _{i=1}^{m}f_{i}(\mathbf {x} )\mathbf {e} _{i}}$　　　　(1-13)

なので、${\displaystyle f_{1},\cdots ,f_{m}}$ すべてが ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ について偏微分可能であれば、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ も微分可能で、

${\displaystyle {{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} \right|}_{[\mathbf {p} ]}}=\left({\begin{matrix}{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{1}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\vdots \\{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{m}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\end{matrix}}\right)}$　　(1-14)

が成立する。これは式 (1-13) の両辺に、式 (1-5) の右辺の極限をとれば証明できる。

一変数関数の微分への帰着

(1-6) の各成分、つまり ${\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{i}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}$ は、それぞれ、(1-15) に示す t についての一変数スカラー値関数

${\displaystyle f_{i}{}^{\circ }l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}(t)=f_{i}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )}$　　　　　　(1-15)

を、t = 0 において（一変数スカラー値意味で）微分したものである。つまり、

${\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{i}\right|}_{[\mathbf {p} ]}={\left.{\frac {d(f_{i}{}^{\circ }l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]})}{dt}}\right|}_{t=0}={\left.{\frac {df_{i}(t\mathbf {a} +\mathbf {x} _{0})}{dt}}\right|}_{t=0}}$　　　　　　(1-16)

である。但し、${\displaystyle l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}$ は、

${\displaystyle l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}(t)=t\mathbf {a} +\mathbf {p} }$　　(1-17)

で定まる ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ の直線である。 また、後述の合成写像の微分法則 (3-7) を用いると (1-16) の計算はさらにすすめられる。この結果は第三節で後述する。

記号「∂f/∂x_j」について

${\displaystyle {\textbf {f}}}$ の点 ${\displaystyle \mathbf {p} }$ における「（${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$の） ベクトル ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$」に対する偏微分商、即ち ${\displaystyle \partial _{[\mathbf {e} _{j}]}\mathbf {f} [\mathbf {p} ]}$ を、 ${\displaystyle {\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}$ と書く。 即ち、

${\displaystyle {\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}=\partial _{[\mathbf {e} _{j}]}\mathbf {f} [\mathbf {p} ]={\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {{\textbf {f}}(t\mathbf {e} _{i}+\mathbf {p} )-{\textbf {f}}(\mathbf {p} )}{t}}}$ (1-18)

と表記する。

また、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ の第 i 成分、つまり ${\displaystyle {{f}_{i}}}$ の点 ${\displaystyle \mathbf {p} }$ における「（${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ の）ベクトル ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$」に対する偏微分商 ${\displaystyle \partial _{[\mathbf {e} _{j}]}f_{i}[\mathbf {p} ]}$ を、${\displaystyle {\left.{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}$ と表記する。

ここで、${\displaystyle {\textbf {e}}_{1}\,\cdots ,{\textbf {e}}_{n}}$ は、それぞれ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 標準基底であり、${\displaystyle {\textbf {e}}_{j}}$ は、第 j 標準ベクトルを意味する。

ヤコビ行列の導入

${\displaystyle {\textbf {f}}}$ が ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ において、${\displaystyle {\textbf {e}}_{1}\,\cdots ,{\textbf {e}}_{n}}$ 全てに対して偏微分可能であるとき、

${\displaystyle {(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}=\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&\vdots &\\{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\end{matrix}}\right)}$　　　　(1-20)

を ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ の ${\displaystyle \mathbf {p} }$ におけるヤコビ行列という。

微分

設定

${\displaystyle {\textbf {D}}}$ を ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ の開集合とし、

${\displaystyle {\textbf {f}}(\mathbf {x} )=\left({\begin{matrix}f_{1}(\mathbf {x} )\\\vdots \\f_{m}(\mathbf {x} )\\\end{matrix}}\right)}$　　　　(2-1)

を、${\displaystyle {\textbf {D}}}$ 上で定義された ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ に値を取る多変数ベクトル値関数とする。

微分の定義

${\displaystyle {\textbf {p}}}$ を ${\displaystyle {\textbf {D}}}$ 内の点とする（つまり ${\displaystyle {\textbf {p}}\in {\textbf {D}}}$）。このとき、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ が ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で微分可能であるとは、

${\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,\left({\frac {\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\left(\mathbf {A} (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)=0}$　　　　(2-2)

を充たす ${\displaystyle n\times m}$ 行列 ${\displaystyle {\textbf {A}}}$ が存在することを意味する。この ${\displaystyle {\textbf {A}}}$ を、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ の ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ における微分という。

${\displaystyle {\textbf {x}}-{\textbf {p}}={\textbf {h}}}$ とおくと、次のようにも表せる。

${\displaystyle \quad \ \displaystyle \lim _{{\textbf {h}}\to {\textbf {0}}}{\dfrac {\|f({\textbf {p}}+{\textbf {h}})-f({\textbf {p}})-A{\textbf {h}}\|}{||{\textbf {h}}||}}=0}$

微分の一意性

${\displaystyle {\textbf {f}}}$ が ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で微分可能であるとき、(2-2) を満たす ${\displaystyle n\times m}$ 行列はひとつしか存在しない。つまり、${\displaystyle n\times m}$ 行列 ${\displaystyle {\textbf {B}}}$ が、

${\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,\,\left({\frac {\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\left(\mathbf {B} (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)=0}$　　　　(2-3)

を満たすとすると、

${\displaystyle {\textbf {A}}={\textbf {B}}}$　　　　(2-4)

が成立する。

微分可能性と偏微分可能性

${\displaystyle {\textbf {f}}}$ が ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で微分可能であるとき、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ は ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で任意のベクトル ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ に対して偏微分可能である。実際、

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {\mathbf {f} (t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}\right)-\mathbf {A} \cdot \mathbf {a} \\&=\,\left({\frac {{\textbf {f}}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-\left(\mathbf {A} \cdot \left(\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right)+{\textbf {f}}(\mathbf {p} )\right)}{\left\|\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right\|}}\right)\left\|\mathbf {a} \right\|\end{aligned}}}$　　(2-5)

ここで、

${\displaystyle \,{\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,\left({\frac {{\textbf {f}}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-\left(\mathbf {A} \cdot \left(\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right)+{\textbf {f}}(\mathbf {p} )\right)}{\left\|\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right\|}}\right)}$　　　　(2-6)

は、(2-2) に ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {p} +t\mathbf {a} }$ を代入したに過ぎないため（従って (2-2) の特別な場合に過ぎない）、(2-5) の両辺の ${\displaystyle t\to 0}$ 極限は 0 となる。従って、

${\displaystyle {\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,\,\,{\frac {{\textbf {f}}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-{\textbf {f}}(\mathbf {p} )}{t}}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {a} }$　　　　(2-7)

となる。以上より ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ が ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で微分可能であるとき、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ は ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ の任意のベクトル ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ に対して偏微分可能であることが示された。

式 (1-5), (2-6) から、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ が ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で微分可能ならば

${\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {a} }$　　　　(2-8)

であることが分かる。

ヤコビ行列の導入

式 (1-2-8) に ${\displaystyle {\textbf {e}}_{1}\,\cdots ,{\textbf {e}}_{n}}$ を代入すると、

${\displaystyle {\left.{\frac {\partial {\textbf {f}}}{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {e} _{j}}$　　　　(2-9)

である。従って ${\displaystyle {\textbf {f}}}$の ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ での微分 ${\displaystyle {\textbf {A}}}$ の第 j 列は、

${\displaystyle {{\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial {{x}_{j}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}}$　　　　(2-10)

第 i , j 成分は

${\displaystyle {\left.{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}$　　　　(2-11)

となる。従って、

${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&\vdots &\\{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\end{matrix}}\right)={{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}}$　　　　(2-12)

となる。

誤差項の導入

「誤差項」の導入を行う。 ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ と ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ に対し、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ の ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ における誤差項（ランダウの記号）${\displaystyle {\textbf {o}}_{[{\textbf {f}},{\textbf {p}}]}}$ を

${\displaystyle \mathbf {o} _{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}(\mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\left({(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right)}$　　　　(2-13)

によって定める。

${\displaystyle {\underset {{\textbf {x}}\to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}=\mathbf {0} }$　　　　(2-14)

${\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}(\mathbf {x} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}=\mathbf {0} }$　　　　(2-15)

であることが分かる。

(2-14) は、以下の恒等式

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )={(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )+{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}(\mathbf {x} )}$　　　　(2-16)

の ${\displaystyle {\textbf {x}}}$ に ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ を代入すれば直ちに得られる。 (2-16) の恒等式ことを、本記事では ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ の点 ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ における一次展開ということにする。 (2-15) 式は、(2-2) 式に (2-13) 式を代入したに過ぎないが、${\displaystyle {\textbf {o}}_{[{\textbf {f}},{\textbf {p}}]}}$ が一次の微小量であることを意味しており、思想的には重要である。

(2-16) 式と (2-13) 式を見比べると、ヤコビ行列は ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ の一次近似を表していると見ることができる。 つまり、点 ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ の近傍で ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ は

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )\simeq \mathbf {f} (\mathbf {p} )+{{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )}$　　　　(2-17)

とみなせることが分かる。

微分に関するいくつかの公式

偏微分の「方向」に関する公式

式 (2-8) から、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ が ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で微分可能であるとき、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ は ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ において ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ の任意のベクトル ${\displaystyle {\textbf {a}}}$, ${\displaystyle {\textbf {b}}}$ と、任意の実数 ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ に対して、

${\displaystyle {\left.\partial _{\left[\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} \right]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {x} ]}=\lambda \left({\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {x} ]}\right)+\mu \left({\left.\partial _{[\mathbf {b} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {x} ]}\right)}$　　　　(3-1)

が成立することが分かる。実際 (2-8) および行列の積の線型性から、

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\left.\partial _{[\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}={(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}(\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} )&=\lambda {(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}(\mathbf {a} )+\mu {(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}(\mathbf {b} )&=\lambda \left({\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\right)+\mu \left({\left.\partial _{[\mathbf {b} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\right)\end{aligned}}}$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3-2)

である。

また、(2-8) から、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ が ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で微分可能であるとき、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ は ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で ${\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}}$ の任意のベクトル ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ に対して、

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}={(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}\mathbf {a} =\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&\ddots &\\{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\\\end{matrix}}\right)\\&=\sum \limits _{j=1}^{n}a_{i}\left({\left.{\frac {\partial {\textbf {f}}}{\partial x_{j}}}\right|}_{\mathbf {p} }\right)\end{aligned}}}$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3-3)

が、成立することがわかる。式 (3-2), (3-3) は、ヤコビ行列の幾何学的な意味を表している。

アフィン写像の微分

次に、アフィン写像の微分について説明する。アフィン写像とは、適当な m×n 行列 A と、n 次元代数数ベクトル b を用いて

${\displaystyle T({\textbf {x}})={\textbf {A}}{\textbf {x}}+{\textbf {b}}}$　　(3-4)

の形で具体的な数式として書ける、${\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}}$から${\displaystyle {\mathbb {R} ^{m}}}$への写像のことである。(3-4)のアフィン写像は、任意の点（${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$の点）${\displaystyle {\textbf {p}}}$で微分可能で、任意の点（${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$の点）${\displaystyle {\textbf {p}}}$において、

${\displaystyle {{(JT)}_{[\mathbf {p} ]}}={\textbf {A}}}$　　(3-5)

である。逆に、任意の点${\displaystyle {\textbf {p}}}$において　　(3-5)を充たす写像があったとすれば、それはアフィン写像である。

合成写像の微分

次に、合成写像の微分について説明する。${\displaystyle {\textbf {E}}}$を${\displaystyle {\mathbb {R} ^{m}}}$の開集合とし、${\displaystyle {\textbf {E}}}$は、${\displaystyle {\textbf {f}}}$の値域を含む（つまり、${\displaystyle {\textbf {f}}({\textbf {D}})\subset {\textbf {E}}}$、特に${\displaystyle {\textbf {f}}({\textbf {p}})\in {\textbf {E}}}$とする）とする。多変数ベクトル値関数 ${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {y} )=\left({\begin{matrix}{{g}_{1}}(\mathbf {y} )\\\vdots \\{{g}_{m}}(\mathbf {y} )\\\end{matrix}}\right)}$　　　　(3-6)

は、${\displaystyle {\textbf {E}}}$で定義され、${\displaystyle {{\mathbb {R} }^{l}}}$に値をとるとする。このとき、${\displaystyle \mathbf {g} }$と${\displaystyle {\textbf {f}}}$との合成写像${\displaystyle \mathbf {g} \circ {\textbf {f}}}$は、${\displaystyle {\textbf {D}}}$で定義され、${\displaystyle {{\mathbb {R} }^{l}}}$に値をとる多変数ベクトル値関数である。

${\displaystyle {\textbf {f}}}$が点${\displaystyle {\textbf {p}}}$で微分可能で、${\displaystyle \mathbf {g} }$が、点${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {p} )}$で微分可能であるとき、${\displaystyle \mathbf {g} \circ {\textbf {f}}}$も${\displaystyle {\textbf {p}}}$で微分可能で、

${\displaystyle {{\left(J\left({\textbf {g}}\circ \mathbf {f} \right)\right)}_{[{\textbf {p}}]}}}$=${\displaystyle {{\left(J\mathbf {g} \right)}_{[{\textbf {f}}(\mathbf {p} )]}}}$${\displaystyle \cdot {(J{\textbf {f}})}_{\textbf {p}}}$　　　　(3-7)

ここで“${\displaystyle \cdot }$”とは、行列としての積である。

■証明
${\displaystyle {\textbf {f}}}$を点${\displaystyle {\textbf {p}}}$で一次展開し、 ${\displaystyle {\textbf {g}}}$を点${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {p} )}$で(2-16)同様に一次展開すると、

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )}$${\displaystyle ={{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )}$　　　　(3-8)

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {y} )}$${\displaystyle ={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot (\mathbf {y} -\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}({\textbf {f}}(\mathbf {p} ))}$　　　　(3-9)

となるので、

${\displaystyle \mathbf {g} \circ {\textbf {f}}({\textbf {x}})}$ ${\displaystyle =\mathbf {g} ({\textbf {f}}({\textbf {x}}))}$ ${\displaystyle ={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot (\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}({\textbf {f}}(\mathbf {p} ))}$

${\displaystyle ={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot ({{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} ))}$

${\displaystyle +\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))}$

${\displaystyle ={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+{{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )}$${\displaystyle +\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))}$

${\displaystyle ={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))}$ ${\displaystyle +{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )}$ 　　　　(3-10)

である。従って

${\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\,=0}$　　　　(3-11)

を示すを示せば終証である。

以下(3-11)を示す。

${\displaystyle {\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}}$ ${\displaystyle =\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}\right)}$ ${\displaystyle \,={\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,}$ 　　　　(3-12)

より、 ${\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}}$${\displaystyle \,={\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,}$　　　　(3-13)

一方、

${\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}}$=${\displaystyle {\underset {\mathbf {f} (\mathbf {x} )\to \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}}$　　　　(3-14)

は、

${\displaystyle {\underset {\mathbf {y} \to \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {y} -\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}}$　　　　(3-15)

の特殊なケースに過ぎないので、

${\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}=0}$　　　　(3-16)

さらに、

${\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,}$　　　　(3-17)

は有限の値であることから、

${\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}=0}$　　　　(3-18)

また、

${\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,\,{\frac {\left({{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}=0}$　　　(3-19)

は、

${\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\left({{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}}$${\displaystyle ={\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,\left({{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\left({\frac {{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,\right)}$ 　　　　(3-20)

であることと、線形写像の連続性から明らかである。

■

(3-7)を行列として具体的に表記すると

${\displaystyle {{\left(J\left({\textbf {g}}\circ \mathbf {f} \right)\right)}_{[{\textbf {p}}]}}}$=${\displaystyle \left({\begin{matrix}{{\left.{\frac {\partial {{g}_{1}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}&\cdots &{{\left.{\frac {\partial {{g}_{1}}}{\partial {{x}_{m}}}}\right|}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\\\vdots &\vdots &\vdots \\{{\left.{\frac {\partial {{g}_{l}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}&\cdots &{{\left.{\frac {\partial {{g}_{l}}}{\partial {{x}_{m}}}}\right|}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\\\end{matrix}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\begin{matrix}{{\left.{\frac {\partial {{f}_{1}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}&\cdots &{{\left.{\frac {\partial {{f}_{1}}}{\partial {{x}_{n}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}\\\vdots &\vdots &\vdots \\{{\left.{\frac {\partial {{f}_{m}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}&\cdots &{{\left.{\frac {\partial {{f}_{m}}}{\partial {{x}_{n}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}\\\end{matrix}}\right)}$(3-21)

となる。これから、

${\displaystyle {{\left.{\frac {\partial {{(\mathbf {f} \circ \mathbf {g} )}_{i}}}{\partial {{x}_{j}}}}\right|}_{[{\textbf {p}}]}}={{\sum \limits _{k=1}^{m}{\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}}\right|}}_{[{\textbf {f}}({\textbf {p}})]}}{{\left.{\frac {\partial {{g}_{k}}}{\partial {{x}_{j}}}}\right|}_{[{\textbf {p}}]}}}$(3-22)

が分かる。

合成写像の偏微分

次に(3-7)の合成写像の微分法を用いて、(1-8)式の計算をさらにすすめる。(1-8)式のうち、本議論に用いるものを(3-23)にて再掲する。

${\displaystyle {{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}{{f}_{i}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}=}$${\displaystyle {{\left.{\frac {d({{f}_{i}}{}^{\circ }{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}})}{dt}}\right|}_{t=0}}}$ 　　　　　　(3-23)

(3-23)式の右辺に式(3-21)を適用すると、

${\displaystyle {{\left.{\frac {d({{f}_{i}}{}^{\circ }{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}})}{dt}}\right|}_{t=s}}={{(J{{f}_{i}})}_{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}}{{\left({{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}\right)}_{s}}}$ ${\displaystyle =\left({{\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}]}},\cdots ,{{\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{n}}}}\right|}_{[{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}]}}\right)}$ ${\displaystyle s{\textbf {a}}}$ ${\displaystyle ={{\sum \limits _{i=1}^{m}{s{{a}_{j}}\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{j}}}}\right|}}_{[s\mathbf {a} +\mathbf {b} ]}}}$　　　(3-24)

以上より、

${\displaystyle {{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}{{f}_{i}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}=}$${\displaystyle {{\sum \limits _{i=1}^{m}{s{{a}_{j}}\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{j}}}}\right|}}_{[s\mathbf {a} +\mathbf {b} ]}}}$　　　　　　(3-25)

逆写像の微分

次に、（弱いほうの）逆写像定理（逆関数定理）を示す。${\displaystyle {\textbf {E}}}$を${\displaystyle {\mathbb {R} ^{m}}}$の開集合とし、${\displaystyle {\textbf {E}}}$は、${\displaystyle {\textbf {f}}}$の値域を含む（つまり、${\displaystyle {\textbf {f}}({\textbf {D}})\subset {\textbf {E}}}$、特に${\displaystyle {\textbf {f}}({\textbf {p}})\in {\textbf {E}}}$とする）とする。多変数ベクトル値関数

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {x} )=\left({\begin{matrix}{{g}_{1}}(\mathbf {x} )\\\vdots \\{{g}_{m}}(\mathbf {x} )\\\end{matrix}}\right)}$　(3-26)

は、${\displaystyle {\textbf {E}}}$で定義され、${\displaystyle {{\mathbb {R} }^{m}}}$に値をとるとする。さらに、${\displaystyle {\textbf {g}}}$が${\displaystyle {\textbf {f}}}$の逆写像、つまり

${\displaystyle \mathbf {g} =}$${\displaystyle {{\mathbf {f} }^{-1}}}$　(3-27)

とする。このとき、

${\displaystyle {{(J{{\mathbf {f} }^{-1}})}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}={{\left({{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\right)}^{-1}}}$　(3-28)

が成立する。標語的にいえば、「逆写像のヤコビ行列は、元の写像の逆行列」である。 これは、(3-7)の特殊な例に過ぎない。

導関数の導入

これまでの議論では、一点${\displaystyle {\textbf {p}}}$を固定して、この点での微分可能性について議論してきた。本節では、領域全体での微分可能性について説明し、導関数^[3]を定義する。

${\displaystyle {\textbf {D}}}$を、${\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}}$の開集合とし、

${\displaystyle \mathbf {f} ({{x}_{1}},,{{x}_{n}})=\left({\begin{matrix}{{f}_{1}}({{x}_{1}},,{{x}_{n}})\\{\vdots }\\{{f}_{m}}({{x}_{1}},,{{x}_{n}})\\\end{matrix}}\right)}$　　　　(4-1)

を、${\displaystyle {\textbf {D}}}$上で定義され、${\displaystyle {\mathbb {R} ^{m}}}$に値を取る多変数ベクトル値関数とする。

${\displaystyle {\textbf {a}}}$を、${\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}}$の固定されたベクトルとする。（${\displaystyle {\textbf {a}}\notin {\textbf {D}}}$でもよい。）このとき、「${\displaystyle {\textbf {f}}}$が${\displaystyle {\textbf {D}}}$で、${\displaystyle {\textbf {a}}}$について偏微分可能である」とは${\displaystyle {\textbf {D}}}$内の全ての点において、(4-1)の意味で${\displaystyle {\textbf {f}}}$が${\displaystyle {\textbf {a}}}$について偏微分可能であることを意味する。このとき「${\displaystyle {\textbf {f}}}$の${\displaystyle {\textbf {a}}}$についての偏導関数${\displaystyle {{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} }$」とは、「${\displaystyle {\textbf {D}}}$の点${\displaystyle {\textbf {x}}}$と${\displaystyle {\textbf {x}}}$における偏微分商${\displaystyle {{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} \right|}_{\textbf {x}}}}$を対応させる多変数ベクトル値関数」のことである。つまり、

${\displaystyle {{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} ({\textbf {x}})=}$ ${\displaystyle {{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} \right|}_{\textbf {x}}}}$　　　　(4-2)

である。特に

${\displaystyle {{\partial }_{[\mathbf {e} _{j}]}}\mathbf {f} ({\textbf {x}})=}$${\displaystyle \left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial {{x}_{j}}}}\right)({\textbf {x}})}$　　　　(4-3)

とする。

「${\displaystyle {\textbf {f}}}$が${\displaystyle {\textbf {D}}}$で、微分可能である」とは、「${\displaystyle {\textbf {D}}}$内の全ての点において、(2-2)の意味で${\displaystyle {\textbf {f}}}$が微分可能」であることを意味する。

このとき「${\displaystyle {\textbf {f}}}$の${\displaystyle {\textbf {D}}}$における導関数${\displaystyle {{\mathbf {f} }^{'}}}$」とは、「${\displaystyle {\textbf {D}}}$の点${\displaystyle {\textbf {x}}}$と${\displaystyle {\textbf {x}}}$における微分${\displaystyle {{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {x} ]}}}$を対応させる行列値の関数」である^[3]。つまり、

${\displaystyle {\mathbf {f} }'(\mathbf {x} )=}$${\displaystyle {{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {x} ]}}}$　　　　(4-4)

である^[3]。${\displaystyle {{\mathbf {f} }'}}$のことを${\displaystyle J\mathbf {f} }$や、${\displaystyle T\mathbf {f} }$と書くこともある。 尚、「dfとヤコビ行列」で後述するように、${\displaystyle d{\textbf {f}}}$は、文脈によっては、(4-4)と同じ意味で使われる場合がある。

また、(4-5)から、直ちに「${\displaystyle {\textbf {f}}}$が${\displaystyle {\textbf {D}}}$で、微分可能」ならば、「${\displaystyle {\textbf {f}}}$が${\displaystyle {\textbf {D}}}$で、任意の${\displaystyle {\textbf {a}}}$について偏微分可能」である。しかし、この逆は成り立たない。つまり、「${\displaystyle {\textbf {f}}}$が${\displaystyle {\textbf {D}}}$で、任意の${\displaystyle {\textbf {a}}}$について偏微分可能」であっても、「${\displaystyle {\textbf {f}}}$が${\displaystyle {\textbf {D}}}$で、微分可能」とは限らない。

「${\displaystyle {\textbf {f}}}$が${\displaystyle {\textbf {D}}}$で、連続微分可能である」とは、「${\displaystyle {\textbf {f}}}$が${\displaystyle {\textbf {D}}}$で、${\displaystyle {{\mathbf {e} }_{1}},\ \cdots ,\ {{\mathbf {e} }_{j}}\cdots ,\ {{\mathbf {e} }_{n}}}$全てについて偏微分可能であり、かつ${\displaystyle {{\mathbf {e} }_{1}},\ \cdots ,\ {{\mathbf {e} }_{j}}\cdots ,\ {{\mathbf {e} }_{n}}}$についての偏導関数がすべて${\displaystyle {\textbf {D}}}$で、連続であること」を意味する。

一見、連続微分可能性は、全微分可能性よりも弱い性質のように見えるが、実は連続微分可能性のほうが強い条件である。つまり「${\displaystyle {\textbf {f}}}$が${\displaystyle {\textbf {D}}}$で、連続微分可能」ならば「${\displaystyle {\textbf {f}}}$が${\displaystyle {\textbf {D}}}$で、微分可能」であるものの、「${\displaystyle {\textbf {f}}}$が${\displaystyle {\textbf {D}}}$で、微分可能」であっても、「${\displaystyle {\textbf {f}}}$が${\displaystyle {\textbf {D}}}$で、連続微分可能」とは限らない。

但し、「${\displaystyle {\textbf {f}}}$が${\displaystyle {\textbf {D}}}$で微分可能であり、導関数が${\displaystyle {\textbf {D}}}$で、連続」ならば、「${\displaystyle {\textbf {f}}}$は${\displaystyle {\textbf {D}}}$で、連続微分可能」である。

全微分

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ に ${\displaystyle \langle {\textit {x}}_{1},\cdots ,{\textit {x}}_{n}\rangle }$ 座標系が定まっているとする。 式 (1-14) の ${\displaystyle {\textit {x}}_{1},\cdots ,{\textit {x}}_{n}}$ は全て ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ から ${\displaystyle \mathbb {R} }$ への線形写像であり、従って式 (3-5) と同様の方法で微分可能で、恒等的に

${\displaystyle {\textit {x}}_{i}'(\mathbf {x} )={}^{t}\mathbf {e} _{i}}$　　　　(5-1)

である。ここで ${\displaystyle {}^{t}}$ は転置を意味する。すなわち ${\displaystyle {}^{t}{\textbf {e}}_{i}}$ とは、第 i 成分のみが 1 で、それ以外が 0 の 1 行 n 列の行列（横ベクトル）である。

式 (4-4) より ${\displaystyle \mathbf {f} '(\mathbf {x} )}$ は、

${\displaystyle \mathbf {f} '(\mathbf {x} )=\left(\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}\right)(\mathbf {x} ),\cdots ,\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\right)(\mathbf {x} )\right)}$ 　　　　(5-2)

で定まる行列値関数であるため、

${\displaystyle \mathbf {f} '(\mathbf {x} )=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{i}}}\right)(\mathbf {x} )\right){\ }^{t}\mathbf {e} _{i}}$　　　　(5-3)

であり、

${\displaystyle \mathbf {f} '(\mathbf {x} )=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{i}}}\right)(\mathbf {x} )\right)\left(r_{i}'(\mathbf {x} )\right)}$　　　　(5-4)

がわかる。ここで、${\displaystyle \mathbf {f} '}$ を ${\displaystyle d\mathbf {f} }$、${\displaystyle x_{i}'}$ を ${\displaystyle dx_{i}}$ と書くと、

${\displaystyle d\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{i}}}\right)(\mathbf {x} )\right)\left(dx_{i}(\mathbf {x} )\right)}$　　　　(5-5)

となる。式 (5-5) において、変数を省略すると、

${\displaystyle d\mathbf {f} =\sum \limits _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{i}}}\right)dx_{i}}$　　　　(5-6)

となる。

微分の“逆問題”

スカラーポテンシャルの定義

${\displaystyle {\textbf {D}}}$を、${\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}}$の開集合とし、

${\displaystyle A=({{a}_{11}},\cdots ,{{a}_{1n}})}$　　(6-1-1)

を、${\displaystyle {\textbf {D}}}$上で定義された1行n列の行列値関数とする。行列値関数とは、 各成分が関数である行列のことを意味する。

式(6-1-1)の${\displaystyle A}$に対し、

${\displaystyle {f}(x)=A}$　　(6-1-2)

を充たす、一変数スカラー値関数${\displaystyle {f}}$を求める問題を考える。(6-1-2)の条件をみたす一変数スカラー値関数のことを、${\displaystyle A}$のスカラーポテンシャルという。

以下、1行n列の行列値関数${\displaystyle A}$があたえられたとき、${\displaystyle A}$のスカラーポテンシャルが存在する条件を調べ、スカラーポテンシャルの構成方法（所謂ポアンカレの補助定理）について述べる^{[注 3]}。

偏導関数に関する「微積分学の基本定理」

${\displaystyle {\textbf {D}}}$を、${\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}}$の開集合とし、${\displaystyle h}$を${\displaystyle {\textbf {D}}}$上で定義された多変数スカラー値関数とする。

${\displaystyle {\textbf {p}}}$を、${\displaystyle {\textbf {D}}}$内の点とする。（つまり、${\displaystyle {\textbf {p}}\in {\textbf {D}}}$）${\displaystyle {\textbf {a}}}$を、${\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}}$のベクトルとする。（${\displaystyle {\textbf {a}}\notin {\textbf {D}}}$でもよい。） このとき、

${\displaystyle \int _{s=0}^{s=1}{\left(\left({{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}h\right)(s\mathbf {a} +\mathbf {p} )\right)ds}}$=${\displaystyle h(\mathbf {a} +\mathbf {p} )-h(\mathbf {p} )}$　　(6-2-1)

が成立する。但し、${\displaystyle 0\leq s\leq 1}$を充たす全ての${\displaystyle s}$に対して、 ${\displaystyle (s\mathbf {a} +\mathbf {p} )\in {\textbf {D}}}$　　(6-2-2) が成り立っているものとする。

以下、(6-2-1)を示す。まず、

${\displaystyle h\circ l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}(s)=h(s\mathbf {a} +\mathbf {p} )}$　　　　　　(6-2-3)

で、 ${\displaystyle {{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}h(\mathbf {x} )=}$${\displaystyle \left({\frac {d(h{}^{\circ }{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}})}{ds}}\right)}$　　　　　　(6-2-4) である。但し、${\displaystyle {{l}_{[\mathbf {a} ,{\mathbf {p} }]}}}$は、(1-9)同様、

${\displaystyle {{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}(s)=s\mathbf {a} +\mathbf {p} }$　　(6-2-5)

である。

(6-2-4)の右辺を、sについて（一変数関数の意味で）積分すると、

${\displaystyle \int _{s=0}^{s=1}{\left({\frac {d(h{}^{\circ }{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}})}{ds}}\right)ds}}$= ${\displaystyle \left[h(s\mathbf {a} +\mathbf {p} )\right]_{s=0}^{s=1}}$　　(6-2-5)

従って、(6-2-1)が分かる。

ポアンカレの補助定理の準備

(6-1-1)の${\displaystyle A}$に対し、作用積分${\displaystyle {{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}}$を定義する。

${\displaystyle \mathbf {p} =\left({\begin{matrix}{{p}_{1}}\\\vdots \\{{p}_{n}}\\\end{matrix}}\right)}$　　(6-3-1)

を${\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}}$の点とする。また、${\displaystyle {\textbf {D}}}$を、${\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}}$の開集合とし、さらに${\displaystyle {\textbf {D}}}$が${\displaystyle {\textbf {p}}}$を中心に星型とする。

${\displaystyle {\textbf {D}}}$が${\displaystyle {\textbf {p}}}$を中心に星型とは、任意の${\displaystyle {\textbf {D}}}$の点${\displaystyle {\textbf {x}}}$と、任意の${\displaystyle s\in [0,1]}$に対し、

${\displaystyle s(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {p} \in {\textbf {D}}}$　　(6-3-2)

であることを意味する。

${\displaystyle {\textbf {p}}}$は固定されているものとする。また、

${\displaystyle {\textbf {x}}}$${\displaystyle =\left({\begin{matrix}{{x}_{1}}\\\vdots \\{{x}_{n}}\\\end{matrix}}\right)}$　　(6-3-3)

も固定されていると考える。

式(6-1-1)の、${\displaystyle {\textbf {D}}}$上で定義された1行n列の行列値関数${\displaystyle A}$に対し、${\displaystyle {{\left.{{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}\right|}_{\mathbf {x} }}}$を

${\displaystyle {{\left.{{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}\right|}_{\mathbf {x} }}}$=${\displaystyle \int _{s=0}^{s=1}{\left(A(s(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {p} )\centerdot \left({\begin{matrix}{{x}_{1}}-{{p}_{1}}\\\vdots \\{{x}_{n}}-{{p}_{n}}\\\end{matrix}}\right)\right)ds}}$　　(6-3-4 )

と定義する。(6-3-4)の右辺の被積分関数

${\displaystyle A(s(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {p} )\centerdot \left({\begin{matrix}{{x}_{1}}-{{p}_{1}}\\\vdots \\{{x}_{n}}-{{p}_{n}}\\\end{matrix}}\right)}$　　(6-3-5)

は、${\displaystyle s}$についての一変数スカラー値関数である。そして、右辺の積分は、(6-3-5)の「sについての一変数スカラー値関数」を(一変数関数の意味で)定積分したものである。また、　${\displaystyle {{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}}$を、点${\displaystyle {\textbf {x}}}$と、 実数${\displaystyle {{\left.{{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}\right|}_{\mathbf {x} }}}$を対応させる多変数スカラー値関数

${\displaystyle {{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )}$${\displaystyle {{\left.={{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}\right|}_{\mathbf {x} }}}$　　(6-3-6)

とする。以降、点${\displaystyle {\textbf {x}}}$は、変数とみなす。