平坦加群

数学において、平坦加群（へいたんかぐん、英: flat module）とは、テンソル積をとる関手 M ⊗ – が完全となる加群 M のことである。 ホモロジー代数学および代数幾何学における基本的な概念のひとつ。ジャン＝ピエール・セールによって導入された^[1]。

定義

A を環、M を右 A 加群とする。 A 加群からなる任意の短完全系列

${\displaystyle 0\to N_{1}\to N_{2}\to N_{3}\to 0}$

に対して、M とのテンソル積をとった系列

${\displaystyle 0\to M\otimes _{A}N_{1}\to M\otimes _{A}N_{2}\to M\otimes _{A}N_{3}\to 0}$

が完全になるとき、M は A 上平坦である、または M は平坦 A 加群であるという。 M が左 A 加群のときも同様に定義される。

なお一般の加群 M に対しては、関手 M ⊗_A – は右完全ゆえ

${\displaystyle M\otimes _{A}N_{1}\to M\otimes _{A}N_{2}\to M\otimes _{A}N_{3}\to 0}$

は完全系列となるが、左端の射が一般には単射にならない。

A 代数 B が平坦であるとは、B が A 加群として平坦であることをいう。

性質

• 射影加群は平坦である。特に自由加群も平坦である。
• （推移性） B が平坦 A 代数で、M が平坦 B 加群ならば、M は A 加群としても平坦である。
• （係数拡大） A 加群 M が平坦ならば、任意の A 代数 B に対し、B 加群 M ⊗_A B も平坦である。
• A_S を環 A の積閉集合 S による局所化とすると、A_S は A 上平坦である。
• （局所性）上より、A の任意の素イデアル p に対し、M_p = M ⊗_A A_p は平坦な A_p 加群となる。逆に、任意の p に対し M_p が A_p 上平坦ならば、M は A 上平坦である。
• I を A の自明でないイデアルとすると、A/I が A_S の形に書ける場合を除き、A 加群 A/I は平坦でない。
• A 加群 M が平坦であることと、任意の A 加群 N に対し TorA
  1 (M, N) = 0 となることとは同値である。

忠実平坦性

M は平坦な A 加群であるとすると、次に述べる条件は同値である。これらの条件を満たすとき M は忠実平坦な A 加群であるという。

• A の任意の極大イデアル m に対し、M ≠ mM が成り立つ。
• 0 → M ⊗_A N₁ → M ⊗_A N₂ → M ⊗_A N₃ → 0 が完全ならば、0 → N₁ → N₂ → N₃ → 0 も完全である。
• 0 でない任意の A 加群 N に対し、M ⊗_A N ≠ 0 が成り立つ。

A 代数 B に関しても同様に忠実平坦性を定義する。この場合は次も同値である。

• A の任意の素イデアル p に対し、A ∩ q = p なる B の素イデアル q が存在する。

概型論

スキームの射 ƒ : X → Y が平坦であるとは、X のすべての点 x に対し、局所環の射 O_{Y, ƒ(x)} → O_{X, x} が平坦であることをいう。環における平坦性が局所的性質であることから、アフィンスキームの間の射の平坦性は対応する環の射の平坦性と同値である。

平坦かつ全射である射は忠実平坦であるという。これもアフィンスキームにおいては環での定義と一致する。

平坦分解と平坦次元

環 R 上の加群 M に対し、各 R-加群 F_i が平坦加群であるような次の完全列

${\displaystyle \cdots \to F_{n+1}\to F_{n}\to \cdots \to F_{1}\to F_{0}\to M\to 0}$

を M の平坦分解という。自由分解や射影分解は平坦分解である。すべての i > n に対し F_i = 0 であるような平坦分解を長さ n の平坦分解という。そのような n が存在する場合その最小値を M の平坦次元といい、存在しない場合は平坦次元は ∞ という。平坦次元は fd(M) と書かれる。平坦次元は射影次元を超えない。左 R-加群 M と整数 n ≥ 0 に対して以下は同値^[2]。

• fd(M) ≤ n.
• 任意の右 R-加群 X に対して、${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n+1}^{R}(X,M)=\{0\}.}$
• 任意の i ≥ n + 1 と任意の右 R-加群 X に対して、${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(X,M)=\{0\}.}$