フィックの法則
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フィックの法則(フィックのほうそく、英: Fick's laws of diffusion)とは、物質の拡散に関する基本法則である。気体、液体、固体(金属)どの拡散にも適用できる。フィックの法則には、第1法則と第2法則がある。
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この法則は、1855年にアドルフ・オイゲン・フィックによって発表された。フィックは拡散現象を、熱伝導に関するフーリエ (1822) の理論と同じように考えることができるとしてこの法則を与えた[1]。
フィックの第1法則
要約
視点
第1法則は、定常状態拡散、すなわち、拡散による濃度が時間に関して変わらない時に使われる、「拡散流束は濃度勾配に比例する」という法則である。工業的に定常状態拡散は水素ガスの純化に見られる。数式で表すと、
あるいは1次元なら、
となる。ここで、記号の意味は以下である:
- J は拡散束または流束 (flux)といい、単位時間当たりに単位面積を通過する、ある性質の量と定義される。質量が通過する場合には次元は[ML-2T-1]で与えられる。
- D は拡散係数 (diffusion coefficient)といい、次元は[L2T-1]
- c は濃度で、次元は[ML-3]
- x は位置で、次元は[L]
導出

任意の位置x における拡散流束J は濃度勾配に比例する
1次元で説明する。区間 の間にある粒子数を とおく。粒子はそれぞれ独立に運動していて、時間 後に左か右に確率 で距離 移動すると仮定する。区間 を右に通過する粒子数は
となるから、流束 は微小な に対して
となる。濃度 で書き換えると
ここで、
である。 を定数としていることは、平均自由時間 よりも長時間の時間スケールで運動を見ているということ(粗視化)を意味する。
フィックの第2法則
要約
視点
第2法則は、非定常状態拡散、すなわち、拡散における濃度が時間に関して変わる時に使われる。実際の拡散の状態は、非定常状態がほとんどである。拡散係数D が定数のとき、濃度c の時間変化は次の拡散方程式で表される:
これは広義の連続の式と等価である。あるいは1次元なら、
記号は第1法則と同様である。
導出

位置と濃度の時間変化が、それぞれdx とdc である
第2法則は、第1法則から導く。第1法則で導いたのと同じように、単位面積の断面を持つパイプ状の物体を想定する。x とx + dx にはさまれた体積dx の部分の濃度をcとすると、その中の溶質の量はcdxと書ける。この時間的変化 ∂c/∂t dxを考える。 この時、x + dx の境界を通して注目している領域に流れ込む溶質の量はJ(x + dx)、この領域からx の境界を通して流れ出る溶質の量はJ(x) である。これより、
- ・・・(1)
ここで第1法則より
であるから、これらを式(1)に代入してフィックの第2法則が導き出される。
- D が定数の場合は、
- となり、比較的容易に解くことができる。初期条件および境界条件によって、いくつかの解がある。
- D が定数でない場合は、
- となる。D の関数形にもよるが、解くのは困難になる。
一般の場合
上記では拡散係数D は等方的な定数であるとしたが、より一般には、方向に依存し、濃度勾配と流束が平行であるとは限らない。この場合、D は2階のテンソル量となる[1]。
拡散係数
要約
視点
アインシュタイン・ストークスの式
ガス分子などの分子拡散の場合、拡散現象はブラウン運動による説明ができ、拡散係数D は次式で与えられる[5]。この式をアインシュタイン・ストークスの式(Stokes-Einstein equation)という[3]。
金属
金属などでは、拡散係数D の温度依存性は次のように表される[4]。
無次元数
参考文献
関連項目
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