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数演算子
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量子力学において数演算子(すうえんざんし)、個数演算子(こすうえんざんし)あるいは粒子数演算子(りゅうしすうえんざんし、英: particle number operator)とは、全粒子数が保存されないような系での粒子数を表すオブザーバブルである。
定義
生成消滅演算子を以下の交換関係を満たす演算子として定義する。
数演算子は以下のように定義される。
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性質
要約
視点
エルミート性
数演算子はエルミート演算子である。
生成消滅演算子との交換関係
数演算子と生成消滅演算子との交換関係は以下のようになる。これは、数演算子の固有値を増減させる昇降演算子の定義でもある。
固有値は非負
数演算子の固有値方程式は、
この固有値は非負である。
固有ベクトルへの消滅演算子の作用
数演算子の固有ベクトルに消滅演算子が作用すると、
固有値は整数
数演算子の固有値は整数である。
よって数演算子の固有値は非負の整数である。
固有ベクトルへの生成演算子の作用
固有ベクトルに生成演算子が作用すると、
となる。真空状態に生成演算子N回作用させた場合は、
よって、
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n粒子状態
要約
視点
数演算子はフォック空間で作用する。与えられているフォック状態 |Ψ⟩ν は1粒子基底状態 |Ψi⟩ から成る。
ここで数演算子を生成消滅演算子 †(φi), (φi) を用いて以下のように定義する。
数演算子は以下の性質を持つ。
ここで Ni は状態 |ψi⟩ の粒子の数である。
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参考文献
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- 清水明『新版 量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』サイエンス社、2004年。ISBN 4-7819-1062-9。
- Bruus, Henrik, Flensberg, Karsten. (2004). Many-body Quantum Theory in Condensed Matter Physics: An Introduction. Oxford University Press. ISBN 0-19-856633-6
- Second quantization notes by Fradkin
関連項目
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