時空代数

時空代数（じくうだいすう、spacetime algebra, STA）は、物理学における時空の表現にクリフォード代数 Cl_1,3(R)、または幾何代数 G(M⁴) を応用するものである。時空代数は、特殊相対性理論、ディラック方程式、マクスウェル方程式、一般相対性理論などの相対論的物理全体を統一的かつ座標に依存しない形式で記述する枠組みを提供する。また、古典物理学、量子力学、相対論的量子力学の間にある数学的な隔たりを縮める役割も果たす^[1]:ix。

時空代数はベクトル空間の拡張として、ベクトルのみならず双ベクトル（面積や回転に対応する向き付き量）やブレード（高次元体積に対応する量）を扱うことができる。これにより、回転、反射、ローレンツ変換などの操作が自然に定式化される。また、時空代数は特殊相対論におけるスピノールの親代数としても機能する^[2]:333。これらの性質により、物理学の基本方程式の多くが簡潔な形で表現され、幾何学的な理解が促進される^[1]:v。

ディラック代数も時空代数と同じくクリフォード代数 Cl_1,3 であるが、時空代数が実スカラーを用いるのに対し、ディラック代数は複素スカラーを用いる。時空代数における時空分割は、Algebra of Physical Space (APS) またはパウリ代数と呼ばれる手法と類似しており、APSでは時空をパラベクトル（3次元ベクトル空間と1次元スカラーの結合）として表現する。^{[3]:225–266}

構造

時空代数における任意のベクトル対 a, b に対して、以下の積が定義される：

• ベクトル積、幾何積：${\displaystyle ab}$
• 内積、ドット積：${\displaystyle a\cdot b:={\frac {ab+ba}{2}}=b\cdot a}$
• 外積、くさび積：${\displaystyle a\wedge b:={\frac {ab-ba}{2}}=-b\wedge a}$

これらは以下の関係を満たす^[1]:6：

${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b.}$

内積はスカラー（実数）を生成し、外積は双ベクトルを生成する。内積が 0 であればベクトルは直交し、外積が 0 であればベクトルは平行である^[2]:22–23。

時空代数の正規直交基底ベクトルは、時間的ベクトル γ₀ と空間的ベクトル γ₁, γ₂, γ₃ からなる。ミンコフスキー計量テンソルは対角成分が非ゼロであり

${\displaystyle (\eta _{00},\eta _{11},\eta _{22},\eta _{33})=(1,-1,-1,-1),}$

μ,ν = 0,1,2,3 に対し、

${\displaystyle \gamma _{\mu }\cdot \gamma _{\nu }={\frac {\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }}{2}}=\eta _{\mu \nu }.}$

また、異なるインデックスに対しては反交換関係が成り立つ：

${\displaystyle \gamma _{\mu }\gamma _{\nu }=-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }.\quad (\mu \neq \nu )}$

時空代数はディラック行列によって生成される代数と実数体上で等価である^[1]:xが、時空代数は明示的な行列表現を必要としない。

基底ベクトルの積により、以下のテンソル基底が生成される^[1]:11：

• スカラー：${\displaystyle \{1\}}$
• ベクトル：${\displaystyle \{\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\}}$
• 双ベクトル：${\displaystyle \{\gamma _{0}\gamma _{1},\gamma _{0}\gamma _{2},\gamma _{0}\gamma _{3},\gamma _{1}\gamma _{2},\gamma _{2}\gamma _{3},\gamma _{3}\gamma _{1}\}}$
• 擬ベクトル（三重ベクトル）：${\displaystyle \{I\gamma _{0},I\gamma _{1},I\gamma _{2},I\gamma _{3}\}}$
• 擬スカラー： ${\displaystyle \{I:=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}\}}$

擬スカラー I は偶数次数の要素とは可換であり、奇数次数の要素とは反可換である^[4]:6。

部分代数

Cl⁺(1,3) における時空代数スピノールのオクタニオン積によるファノ平面の図

e_n および時空代数形式におけるオクタニオンの乗積表

時空代数の偶数次数要素（スカラー、双ベクトル、擬スカラー）は Cl_3,0(R) の偶数部分代数を形成し、Algebra of Physical Space (APS) またはパウリ代数と等価である^[1]:12。時空代数の双ベクトルは、APSにおけるベクトルおよび擬ベクトルに対応する。時空代数の部分代数構造は、以下のような命名によってより明示的になる^[1]:22[2]:37：

• 時空代数の双ベクトル ${\displaystyle \gamma _{1}\gamma _{0},\gamma _{2}\gamma _{0},\gamma _{3}\gamma _{0}}$ を ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ と定義する。
• 時空代数の双ベクトル ${\displaystyle \gamma _{3}\gamma _{2},\gamma _{1}\gamma _{3},\gamma _{2}\gamma _{1}}$ を ${\displaystyle I\sigma _{1},I\sigma _{2},I\sigma _{3}}$ と定義する。^[5][6]

パウリ行列 ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2},{\hat {\sigma }}_{3}}$ は、これらの σ₁, σ₂, σ₃ の行列表現である^[2]:37。

σ₁, σ₂, σ₃ の任意のペアに対して、非ゼロの内積は以下の通り：

${\displaystyle \sigma _{1}\cdot \sigma _{1}=\sigma _{2}\cdot \sigma _{2}=\sigma _{3}\cdot \sigma _{3}=1.}$

そして、非ゼロの外積は以下のようになる：

${\displaystyle \sigma _{1}\wedge \sigma _{2}=I\sigma _{3},\quad \sigma _{2}\wedge \sigma _{3}=I\sigma _{1},\quad \sigma _{3}\wedge \sigma _{1}=I\sigma _{2}.}$

代数から偶数部分代数へのこの系列は、物理空間代数、四元数代数、複素数、実数へと続く。時空代数の偶数部分代数 Cl⁺(1,3)（Cl(1,3) における実数時空スピノール）は、ユークリッド空間 R³ におけるクリフォード幾何代数 Cl(3,0) と同型である。この構造は八元数積の下でのファノ平面として視覚化される^[7]。

除法

0 でないベクトル a が ヌルベクトル（次数2の冪零元）であるとは、a² = 0 を満たすことである^[8]:2。例として a = γ₀ + γ₁ がある。ヌルベクトルは光円錐に接する^[8]:4。

元 b が冪等元であるとは、b² = b を満たすことである^[9]:103。2つの冪等元 b₁ と b₂ が直交冪等元であるとは、b₁ b₂ = 0 を満たすことである^[9]:103。直交冪等元の例として、${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1+\gamma _{0}\gamma _{k})}$ と ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1-\gamma _{0}\gamma _{k})}$（ただし k = 1,2,3）がある。

真の零因子とは、零因子のうち 0 でない元で積が 0 となるもの言い、ヌルベクトルや直交冪等元がその例である^[10]:191。

可除多元環とは、すべての元に対して乗法逆元（逆数）が存在する代数である。ただし、これは真の零因子が存在せず、冪等元が 1 のみである場合に限られる^{[9]:103[11]:211[注釈 1]}。

結合的な除法代数は、実数、複素数、四元数のみである^[12]:366。

時空代数は除法代数ではないため、逆元を持たない元も存在する。ただし、零ベクトルでないベクトル c に対しては逆元 c^-1 = (c · c)^-1 c を用いた除法が可能である^[13]:14。

逆基底

直交基底 {γ₀, γ₁, γ₂, γ₃} に対応して、逆基底（reciprocal basis）{γ⁰, γ¹, γ², γ³} は以下の関係式を満たすものである：^[1]:63

${\displaystyle \gamma _{\mu }\cdot \gamma ^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3}$

この逆基底ベクトルは符号のみが異なり、以下のように表される：

${\displaystyle \gamma ^{0}=\gamma _{0},\quad \gamma ^{1}=-\gamma _{1},\quad \gamma ^{2}=-\gamma _{2},\quad \gamma ^{3}=-\gamma _{3}.}$

ベクトル a は基底ベクトルまたは逆基底ベクトルのいずれを用いても ${\displaystyle a=a^{\mu }\gamma _{\mu }=a_{\mu }\gamma ^{\mu }}$ のように表すことができる。ここで添字 μ = 0,1,2,3 に対して和を取る（縮約記法）。この表現により、ベクトルの成分は内積によって抽出される：

${\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot \gamma ^{\nu }&=a^{\nu },\quad \nu =0,1,2,3,\\a\cdot \gamma _{\nu }&=a_{\nu },\quad \nu =0,1,2,3.\end{aligned}}}$

計量テンソルにより、指標の上げ下げが行われる：

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\mu }&=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3,\\\gamma ^{\mu }&=\eta ^{\mu \nu }\gamma _{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3.\end{aligned}}}$

時空勾配

時空勾配は、ユークリッド空間における勾配と同様に、方向微分の関係式を満たすように定義される：^[14]:45

${\displaystyle a\cdot \nabla F(x)=\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {F(x+a\tau )-F(x)}{\tau }}.}$

この関係式を満たすために、勾配の定義は以下のようになる：

${\displaystyle \nabla =\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }.}$

${\displaystyle x=ct\gamma _{0}+x^{k}\gamma _{k}}$ と書いた場合、各偏微分は以下のように表される：

${\displaystyle \partial _{0}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\quad \partial _{k}={\frac {\partial }{\partial {x^{k}}}}.}$

時空分離

時空分離の例:

${\displaystyle x\gamma _{0}=x^{0}+\mathbf {x} }$

${\displaystyle p\gamma _{0}=E+\mathbf {p} }$[15]

${\displaystyle v\gamma _{0}=\gamma (1+\mathbf {v} )}$[15]

ここで γ はローレンツ因子

${\displaystyle \nabla \gamma _{0}=\partial _{t}-{\vec {\nabla }}}$[16]

時空分離（spacetime split）とは、選ばれた基準系における、4次元空間から (3+1) 次元空間への射影であり、以下の2つの操作によって実現される：

• 選ばれた時間軸を潰すことにより、双ベクトルによって張られる3次元空間が得られる。これは標準的な3次元基底ベクトルに相当する。
• 4次元空間を選ばれた時間軸に射影することで、スカラー時間を表す1次元空間が得られる。^[17]

この操作は、時間的基底ベクトル γ₀ による前置または後置の積によって実現される。これにより、4ベクトルは γ₀ と共動する基準系において、スカラーの時間成分と双ベクトルの空間成分とに分離される。${\displaystyle x=x^{\mu }\gamma _{\mu }}$ とすると、以下のようになる：

${\displaystyle {\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\gamma _{k}\gamma _{0},\\\gamma _{0}x&=x^{0}-x^{k}\gamma _{k}\gamma _{0}.\end{aligned}}}$

時空分離は、時空の偶次数ベクトルをパウリ代数内のベクトルとして表現する方法であり、時間をスカラーとして分離し、空間ベクトルを3次元空間内に配置する。この方法は、時空ベクトル (γ) を置き換えるものである。^[18]

双ベクトル γ_k γ₀ は2乗すると 1 になるため、空間基底として機能する。パウリ行列記法を用いると、これらは ${\displaystyle \sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}}$ と書かれる。時空代数における空間ベクトルは太字で表される。x = x^k σ_k および x⁰ = ct とすると、γ₀ による時空分離、x γ₀ とその逆 γ₀ x、は以下のようになる：

${\displaystyle {\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\sigma _{k}=ct+\mathbf {x} ,\\\gamma _{0}x&=x^{0}-x^{k}\sigma _{k}=ct-\mathbf {x} .\end{aligned}}}$

ただし、上記の式はミンコフスキー計量（符号 (+ − − −)）においてのみ有効である。任意の符号に対応する時空分離を行うには、${\displaystyle \sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma ^{0}}$ および ${\displaystyle \sigma ^{k}=\gamma _{0}\gamma ^{k}}$ という代替定義を用いる必要がある。

変換

ローレンツ変換

幾何代数においてベクトル v を回転させるには以下の式が用いられる：^[19]:50–51

${\displaystyle v'=e^{-\beta {\frac {\theta }{2}}}\ v\ e^{\beta {\frac {\theta }{2}}}.}$

ここで θ は回転角、β は回転面を表す正規化された双ベクトルであり、${\displaystyle \beta {\tilde {\beta }}=1}$ を満たす。

空間的双ベクトルに対しては ${\displaystyle \beta ^{2}=-1}$ となるため、オイラーの公式が適用され、以下の回転式が得られる：^[2]:401

${\displaystyle v'=\left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\beta \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)\ v\ \left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\beta \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right).}$

時間的双ベクトルに対しては ${\displaystyle \beta ^{2}=1}$ となり、「時間方向の回転」は分解型複素数に対応する類似の式を用いる：

${\displaystyle v'=\left(\cosh \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\beta \sinh \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)\ v\ \left(\cosh \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\beta \sinh \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right).}$

この式の解釈として、時間方向の回転は単に双曲線回転であり、特殊相対論におけるローレンツブーストに等価である。

これらの変換はどちらもローレンツ変換と呼ばれ、それら全体の集合はローレンツ群を構成する。時空代数において、任意の基底（基準系）から別の基底へ対象を変換するには、これらの変換のいずれかを用いる必要がある。^[1]:47–62

ローレンツ変換式を複素四元数で表すための同定

ローレンツ変換式は、いくつかの簡単な同定を行うことで、複素四元数または双四元数（英語版）で簡潔に表すことができる。

四元数によるローレンツ変換は、以下のような形で最も自然に表現される：

${\displaystyle X\equiv x\,\gamma _{0}=x^{0}+\gamma _{1}\gamma _{0}x^{1}+\gamma _{2}\gamma _{0}x^{2}+\gamma _{3}\gamma _{0}x^{3}=x^{0}+\sigma _{1}x^{1}+\sigma _{2}x^{2}+\sigma _{3}x^{3}.}$

ここで、擬スカラー ${\displaystyle \gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$ を虚数単位 i（−1の平方根）と同定する。この擬スカラーの2乗は −1 であり、スカラーや双ベクトル（X や変換演算子）と可換である。

基底四元数 ${\displaystyle {\textbf {I}},{\textbf {J}},{\textbf {K}}}$ を以下のように定義する：

${\displaystyle {\textbf {I}}^{2}={\textbf {J}}^{2}={\textbf {K}}^{2}={\textbf {IJK}}=-1.}$

この議論では、${\displaystyle {\textbf {I}}}$ は基底四元数である。以下のように同定する：

${\displaystyle -i\sigma _{1}\rightarrow {\textbf {I}},\quad -i\sigma _{2}\rightarrow {\textbf {J}},\quad -i\sigma _{3}\rightarrow {\textbf {K}}.}$

時間軸を含む双ベクトル ${\displaystyle \beta }$（例：${\displaystyle \gamma _{1}\gamma _{0}}$）に対しては、${\displaystyle \alpha }$ を実数のスカラーとして：

${\displaystyle e^{\beta {\frac {\alpha }{2}}}\gamma _{0}=\gamma _{0}e^{-\beta {\frac {\alpha }{2}}}.}$

空間軸を2つ含む双ベクトル ${\displaystyle \beta }$（例：${\displaystyle \gamma _{2}\gamma _{3}}$）に対しては、${\displaystyle \theta }$ を実数のスカラーとして：

${\displaystyle e^{\beta {\frac {\theta }{2}}}\gamma _{0}=\gamma _{0}e^{\beta {\frac {\theta }{2}}}.}$

x軸まわりの空間回転^[20]では

${\displaystyle \beta =\gamma _{2}\gamma _{3}=-(\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3})\gamma _{1}\gamma _{0}\rightarrow -i\sigma _{1}\rightarrow {\textbf {I}}}$

により以下の式が得られる：

${\displaystyle {\textbf {X}}'=e^{-{\frac {\theta }{2}}{\textbf {I}}}\,{\textbf {X}}\,e^{{\frac {\theta }{2}}{\textbf {I}}}.}$

ここで ${\displaystyle \theta }$ は回転角、また ${\displaystyle {\textbf {X}}=x^{0}+ix^{1}{\textbf {I}}+ix^{2}{\textbf {J}}+ix^{3}{\textbf {K}}.}$ この形式はディラックによって用いられたものである。^[21]

x 方向のブースト^[22][23]では

${\displaystyle \beta =\gamma _{1}\gamma _{0}\rightarrow \sigma _{1}\rightarrow i{\textbf {I}}}$

により以下の式が得られる：

${\displaystyle {\textbf {X}}'=e^{-{\frac {\alpha }{2}}i{\textbf {I}}}\,{\textbf {X}}\,e^{-{\frac {\alpha }{2}}i{\textbf {I}}}.}$

ここで ${\displaystyle \cosh \alpha =\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-1/2}}$、${\displaystyle v}$ は速度。

その他の変換

任意の時空要素 A は擬スカラーとの積によって双対要素 AI に変換される^[14]:114。

双対回転は、擬スカラー I を用いて、時空要素 A を角度 φ だけ回転させ、要素 A′ に変換する：^[1]:13

${\displaystyle A^{\prime }=e^{I\phi }A.}$

双対回転が定義されるのは、非特異なクリフォード代数に限られる。非特異とは、2乗が 0 でない擬スカラーを含むクリフォード代数を意味する。^[1]:13

次数反転は、任意の r-ベクトル A_r を以下のように変換する：^[1]:13[24]

${\displaystyle A_{r}^{\ast }=(-1)^{r}\,A_{r}.}$

反転変換は、任意の時空要素をベクトルの積の和として分解し、それぞれの積の順序を逆にすることで定義される^[1]:13[25]。ベクトルの積から構成される多ベクトル ${\displaystyle A=a_{1}a_{2}\ldots a_{r-1}a_{r}}$ に対して、反転は以下のように与えられる：

${\displaystyle A^{\dagger }=a_{r}a_{r-1}\ldots a_{2}a_{1}.}$

クリフォード共役は、反転と次数反転を組み合わせた変換である：^[26]

${\displaystyle {\tilde {A}}=A^{\ast \dagger }.}$

次数反転、反転、クリフォード共役の各変換は、いずれも対合である。^[27]

古典電磁気学

ファラデー双ベクトル

時空代数において、電場と磁場は単一の双ベクトル場として統一される。この双ベクトルはファラデー双ベクトルと呼ばれ、ファラデーテンソルと等価である^[2]:230。定義は以下の通り：

${\displaystyle F:={\vec {E}}+Ic{\vec {B}}.}$

ここで ${\displaystyle E}$ および ${\displaystyle B}$ は通常の電場・磁場、${\displaystyle I}$ は時空代数における擬スカラーである^[2]:230。

${\displaystyle F}$ を成分展開すると以下のように表される：

${\displaystyle F=E^{i}\sigma _{i}+IcB^{i}\sigma _{i}=E^{1}\gamma _{1}\gamma _{0}+E^{2}\gamma _{2}\gamma _{0}+E^{3}\gamma _{3}\gamma _{0}-cB^{1}\gamma _{2}\gamma _{3}-cB^{2}\gamma _{3}\gamma _{1}-cB^{3}\gamma _{1}\gamma _{2}.}$

${\displaystyle F}$ から電場 ${\displaystyle {\vec {E}}}$ および磁場 ${\displaystyle {\vec {B}}}$ を分離するには：

${\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {1}{2}}\left(F-\gamma _{0}F\gamma _{0}\right),\\IcB&={\frac {1}{2}}\left(F+\gamma _{0}F\gamma _{0}\right).\end{aligned}}}$

ここで ${\displaystyle \gamma _{0}}$ は基準系を表し、異なる基準系を用いると、相対的に電場・磁場の表現も変化する。これは通常の特殊相対論と同様である。^[2]:233

ファラデー双ベクトルはローレンツ不変量であり、その2乗からさらに2つのローレンツ不変量（1つのスカラー、1つの擬スカラー）が得られる：

${\displaystyle F^{2}=E^{2}-c^{2}B^{2}+2Ic{\vec {E}}\cdot {\vec {B}}.}$

スカラー部分は電磁場のラグランジアン密度に対応するが、擬スカラー部分はあまり見られないローレンツ不変量である。^[2]:234

マクスウェル方程式

時空代数ではマクスウェル方程式をより簡潔な形で1つの方程式として定式化する^[28]:230。これはベクトル解析では4つの方程式で表されることと対照的である^[29]:2–3。

前節のファラデー双ベクトルと同様に、電荷密度と電流密度も1つの時空ベクトルとして統一され、4元ベクトルとなる。したがって、時空電流 ${\displaystyle J}$ は以下のように定義される：^[30]:26

${\displaystyle J:=c\rho \gamma _{0}+J^{i}\gamma _{i}.}$

ここで ${\displaystyle J^{i}}$ は古典的な3次元電流密度の成分である。このように統合することで、古典的な電荷密度が ${\displaystyle \gamma _{0}}$ によって定義される時間方向に進む電流であることが明確になる。

電磁場と電流密度、そして前節で定義された時空勾配を組み合わせることで、時空代数ではマクスウェルの4つの方程式を1つにまとめることができる。^[28]:230

マクスウェル方程式:

${\displaystyle \nabla F=\mu _{0}cJ}$

これらの量がすべて時空代数における共変量であることから、この方程式は自動的にローレンツ共変性を満たす。この証明は、4つの方程式に分けた場合よりも容易にできる。

この形式では電荷保存則など、マクスウェル方程式の特定の性質の証明も簡潔になる。任意の双ベクトル場に対して、その時空勾配の発散が 0 であるという事実を用いると、以下のような操作が可能となる：^[31]:231

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \left[\nabla F\right]&=\nabla \cdot \left[\mu _{0}cJ\right],\\0&=\nabla \cdot J.\end{aligned}}}$

この式は、電流密度の発散が 0 であること、すなわち電荷と電流の総量が時間的に保存されることを意味する。

さらに、電磁場を用いることで、ローレンツ力の形式も時空代数によって大幅に簡略化される。^[32]:156

荷電粒子に作用するローレンツ力:

${\displaystyle {\mathcal {F}}=qF\cdot v}$

ポテンシャルによる定式化

標準的なベクトル解析による定式化では、2つのポテンシャル関数：電気スカラーポテンシャルと磁気ベクトルポテンシャルが用いられる。時空代数では、これら2つの量を1つのベクトル場 ${\displaystyle A}$ に統合することができ、これはテンソル解析における電磁ポテンシャルに相当する。時空代数における定義は以下の通り：

${\displaystyle A={\frac {\phi }{c}}\gamma _{0}+A^{k}\gamma _{k}.}$

ここで ${\displaystyle \phi }$ はスカラーポテンシャル、${\displaystyle A^{k}}$ は磁気ポテンシャルの成分である。この場は、SI単位系ではウェーバ毎メートル（V⋅s⋅m⁻¹）の単位を持つ。

電磁場はこのポテンシャル場を用いて以下のようにも表現できる：

${\displaystyle {\frac {1}{c}}F=\nabla \wedge A.}$

ただし、この定義は一意ではない。任意の2階微分可能なスカラー関数 ${\displaystyle \Lambda ({\vec {x}})}$ に対して、以下のようなポテンシャル

${\displaystyle A'=A+\nabla \Lambda }$

も元の ${\displaystyle F}$ と同じ電磁場を与える。これは以下のように示される：

${\displaystyle \nabla \wedge \left(A+\nabla \Lambda \right)=\nabla \wedge A+\nabla \wedge \nabla \Lambda =\nabla \wedge A.}$

この現象はゲージ自由度と呼ばれる。問題を最も簡潔にするような関数 ${\displaystyle \Lambda }$ を選ぶ操作はゲージ固定と呼ばれる。相対論的電磁気学では、ローレンス条件 ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {A}}=0}$ が課されることが多い。^[2]:231

時空代数におけるマクスウェル方程式をポテンシャル ${\displaystyle A}$ によって再定式化するには、まず ${\displaystyle F}$ を上記の定義に置き換える：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c}}\nabla F&=\nabla \left(\nabla \wedge A\right)\\&=\nabla \cdot \left(\nabla \wedge A\right)+\nabla \wedge \left(\nabla \wedge A\right)\\&=\nabla ^{2}A+\left(\nabla \wedge \nabla \right)A=\nabla ^{2}A+0\\&=\nabla ^{2}A.\end{aligned}}}$

この結果を代入することで、時空代数における電磁気学のポテンシャル形式が得られる：^[2]:232

ポテンシャル方程式:

${\displaystyle \nabla ^{2}A=\mu _{0}J}$

ラグランジアンによる定式化

テンソル解析による定式化と同様に、時空代数におけるポテンシャル定式化は自然に適切なラグランジアン密度を導く。^[2]:453

電磁場のラグランジアン密度:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}F^{2}-J\cdot A}$

この場に対するオイラー＝ラグランジュ方程式は、マルチベクトル値で定式化される。厳密な数学的議論を省略し、スカラーでない対象に対する偏微分を形式的に扱うと、対応する方程式は以下のようになる：^[33]:440

${\displaystyle \nabla {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\nabla A\right)}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A}}=0.}$

この形式からポテンシャル方程式を再導出するには、ローレンス条件 ${\displaystyle \nabla \cdot A=0}$ を課すのが最も簡潔である。^[2]:232

この操作は任意のゲージでも可能だが、ローレンスゲージを用いることで導出過程が明確になる。幾何積の構造により、この条件を用いると ${\displaystyle \nabla \wedge A=\nabla A}$ が成立する。

${\displaystyle F=c\nabla A}$ を代入することで、前節で導出されたポテンシャル場 ${\displaystyle A}$ に対する運動方程式が容易に得られる。

パウリ方程式

時空代数では、パウリ方程式に従う粒子（パウリ粒子）を、行列理論ではなく実数理論として記述することができる。行列理論におけるパウリ粒子の記述は以下の通り：^[34]

${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}\Psi =H_{S}\Psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,{\hat {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \Psi .}$

ここで ${\displaystyle \Psi }$ はスピノール、${\displaystyle i}$ は幾何学的意味を持たない虚数単位、${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{i}}$ はパウリ行列（「ハット」記号は ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ が幾何代数の要素ではなく行列演算子であることを示す）、${\displaystyle H_{S}}$ はシュレーディンガー・ハミルトニアンである。

時空代数によるアプローチでは、行列スピノール表現 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ を、偶数次数の時空部分代数の要素 ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ および擬スカラー ${\displaystyle I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}}$ を用いて時空代数表現 ${\displaystyle \psi }$ に変換する：^{[2]:37[35]:270,271}

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{bmatrix}\cos(\theta /2)\,e^{-i\phi /2}\\\sin(\theta /2)\,e^{+i\phi /2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a^{0}+ia^{3}\\-a^{2}+ia^{1}\end{bmatrix}}\mapsto \psi =a^{0}+a^{1}I\sigma _{1}+a^{2}I\sigma _{2}+a^{3}I\sigma _{3}.}$

パウリ粒子は、以下の実パウリ–シュレーディンガー方程式によって記述される：^[34]

${\displaystyle \partial _{t}\psi \,I\sigma _{3}\,\hbar =H_{S}\psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,\mathbf {B} \psi \sigma _{3}.}$

ここで ${\displaystyle \psi }$ は幾何代数における偶数次数のマルチベクトルであり、${\displaystyle H_{S}}$ はシュレーディンガー・ハミルトニアンである。Hestenes はこの理論を「実パウリ–シュレーディンガー理論」と呼び、磁場項を除去すれば通常のシュレーディンガー理論に還元されることを強調している。^[34]:30

ベクトル ${\displaystyle \sigma _{3}}$ は任意に選ばれた固定ベクトルであり、固定された回転によって別の固定ベクトル ${\displaystyle \sigma '_{3}}$ を生成することができる。^[36]:30

ディラック方程式

時空代数では、ディラック方程式に従う粒子（ディラック粒子）を、行列理論ではなく実数理論として記述することができる。行列理論におけるディラック粒子の記述は以下の通り：^[37]

${\displaystyle {\hat {\gamma }}^{\mu }(i\partial _{\mu }-e\mathbf {A} _{\mu })|\psi \rangle =m|\psi \rangle .}$

ここで ${\displaystyle {\hat {\gamma }}^{\mu }}$ はディラック行列、${\displaystyle i}$ は幾何学的意味を持たない虚数単位である。

パウリ方程式と同様の手法により、時空代数では行列スピノールの上部成分 ${\displaystyle |\psi _{U}\rangle }$ と下部成分 ${\displaystyle |\psi _{L}\rangle }$ を、それぞれ幾何代数におけるスピノール表現 ${\displaystyle \psi _{U}}$ および ${\displaystyle \psi _{L}}$ に変換する。これらを組み合わせることで、幾何代数によるディラック・バイスピノール ${\displaystyle \psi }$ が得られる：^[38]:279

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{vmatrix}|\psi _{U}\rangle \\|\psi _{L}\rangle \end{vmatrix}}\mapsto \psi =\psi _{U}+\psi _{L}\sigma _{3}.}$

Hestenes の導出に従えば、ディラック粒子は以下の方程式によって記述される：^[37][39]:283

時空代数におけるディラック方程式:

${\displaystyle \nabla \psi \,I\sigma _{3}-e\mathbf {A} \psi =m\psi \gamma _{0}}$

ここで ${\displaystyle \psi }$ はスピノール場、${\displaystyle \gamma _{0}}$ および ${\displaystyle I\sigma _{3}}$ は幾何代数の要素、${\displaystyle \mathbf {A} }$ は電磁ポテンシャル、${\displaystyle \nabla =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$ は時空ベクトル微分である。

ディラックスピノール

相対論的なディラックスピノール ${\displaystyle \psi }$ は以下のように表される：^{[40][41][42]:280}

${\displaystyle \psi =R(\rho e^{i\beta })^{1/2}.}$

この式はHestenesによって導出されたもので、${\displaystyle \psi =\psi (x)}$ は時空上の偶マルチベクトル値関数、${\displaystyle R=R(x)}$ はユニモジュラー・スピノール（またはローター）^[43]、${\displaystyle \rho =\rho (x)}$ および ${\displaystyle \beta =\beta (x)}$ はスカラー値関数である^[40]。この構成では、${\displaystyle \psi }$ の成分はディラックスピノールの成分と直接対応し、いずれも8個のスカラー自由度を持つ。

この式は、スピンと虚数擬スカラーとの結びつきを示すものと解釈される。^{[44]:104–121}

ローター ${\displaystyle R}$ は、ベクトルのフレーム ${\displaystyle \gamma _{\mu }}$ を別のフレーム ${\displaystyle e_{\mu }}$ にローレンツ変換する作用を持ち、以下のように表される：^[45]:15

${\displaystyle e_{\mu }=R\gamma _{\mu }R^{\dagger }.}$

ここで ${\displaystyle R^{\dagger }}$ は逆変換を意味する。

この構成は、局所的に変化するベクトル値およびスカラー値の可観測量の枠組みを提供するよう拡張され、シュレーディンガーが提案したツィッターベヴェーグンク解釈を支持するものと考えられてる^[46][1]:vi。

Hestenes は自身の ${\displaystyle \psi }$ の表現を、ファインマンによる経路積分定式化における表現と比較している：

${\displaystyle \psi =e^{i\Phi _{\lambda }/\hbar }.}$

ここで ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ は ${\displaystyle \lambda }$-経路に沿った古典的作用である。^[47]

このスピノールを用いることで、場からの電流密度は以下のように表される：^[48]:8

${\displaystyle J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .}$

対称性

グローバル位相対称性とは、波動関数に一定のグローバルな位相変換を施してもディラック方程式が不変であることを指す^[49]:41–48。

ローカル位相対称性とは、空間的に変化する位相変換を波動関数に施した際、電磁ポテンシャルに対するゲージ変換を伴えばディラック方程式が不変となることを指す。この対称性は以下の変換で表される：^[50]:269,283

${\displaystyle \psi \mapsto \psi e^{\alpha (x)I\sigma _{3}},\quad eA\mapsto eA-\nabla \alpha (x).}$

ここで、ローカル位相変換は時空点 ${\displaystyle x}$ における位相シフト ${\displaystyle \alpha (x)}$ を意味し、擬ベクトル ${\displaystyle I}$ および偶次数部分代数の要素 ${\displaystyle \sigma _{3}}$ を通じて波動関数 ${\displaystyle \psi }$ に作用する。ゲージ変換は、電荷 ${\displaystyle e}$ を持つ粒子に対して、電磁ポテンシャル ${\displaystyle A}$ から位相シフトの勾配 ${\displaystyle \nabla \alpha (x)}$ を差し引く操作である。^[50]:269,283

時空代数および関連するクリフォード代数の手法は、ゲージ理論、電弱相互作用、ヤン＝ミルズ理論、および標準模型への応用が進められている。^{[51]:1345–1347}

離散的な対称性としては、波動関数 ${\displaystyle \psi }$ に対する以下の変換がある：^[52]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {P}}|\psi \rangle &\mapsto \gamma _{0}\psi (\gamma _{0}x\gamma _{0})\gamma _{0},\\{\hat {C}}|\psi \rangle &\mapsto \psi \sigma _{1},\\{\hat {T}}|\psi \rangle &\mapsto I\gamma _{0}\psi (\gamma _{0}x\gamma _{0})\gamma _{1}.\end{aligned}}}$

ここで ${\displaystyle {\hat {P}}}$ はパリティ変換、${\displaystyle {\hat {C}}}$ は荷電共役変換、${\displaystyle {\hat {T}}}$ は時間反転を表す。

一般相対性理論

時空代数および関連するクリフォード代数の手法は相対論、重力、宇宙論にも応用されている。^[51]:1343

ゲージ理論的重力（en:gauge theory gravity）は、時空代数を用いてミンコフスキー空間上に誘導される曲率を記述し、事象を時空上に滑らかに再配置する任意の写像に対するゲージ対称性を認める。この枠組みでは、測地線方程式が以下のように表される：^{[53][54][4][55]}

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}R={\frac {1}{2}}(\Omega -\omega )R.}$

共変微分は以下の通り：

${\displaystyle D_{\tau }=\partial _{\tau }+{\frac {1}{2}}\omega .}$

ここで ${\displaystyle \omega }$ は重力ポテンシャルに関連する接続であり、${\displaystyle \Omega }$ は電磁場などの外部相互作用を表す。

この理論はブラックホールの扱いにおいて有望であり、シュヴァルツシルト解の形式が特異点で破綻しないことが示されている。一般相対性理論の多くの結果は数学的に再現されており、古典電磁気学の相対論的定式化は量子力学およびディラック方程式へと拡張されている。

脚注

1. 例：冪等元 ${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}(1+\gamma _{0})}$ に対して、${\displaystyle b=1-a={\tfrac {1}{2}}(1-\gamma _{0})}$ と定義すると、${\displaystyle a^{2}=a}$、${\displaystyle b^{2}=b}$、${\displaystyle ab=0}$ が成り立つ。${\displaystyle a^{-1}}$ を ${\displaystyle a^{-1}a=1}$ を満たす逆元とすると、${\displaystyle b=1\cdot b=(a^{-1}a)b=a^{-1}(ab)=a^{-1}\cdot 0\neq 0}$ となる。しかし、${\displaystyle a^{-1}}$ に対して ${\displaystyle a^{-1}\cdot 0\neq 0}$ を満たすものは存在しないため、この冪等元には逆元が存在しない。