第二多項式

数学において多項式列 {q_n(x)} が、測度 ρ に関して直交する多項式列 {p_n(x)} に付随する^[1]とは、それが

${\displaystyle q_{n}(x)=\int _{\mathbb {R} }{\frac {p_{n}(t)-p_{n}(x)}{t-x}}{\mathit {d\rho }}(t)}$

で定義されることをいう。 {p_n(x)} に付随する secondary polynomials（副次多項式列）、{p_n(x)} に対する第二種の直交多項式列 (orthogonal polynomials of the second kind^[2][1])とも言う。

ρ に関する各次数のモーメントが有限であるとき、このように与えられる各函数 q_n(x) が実際に多項式となることは、単項式 x^k (k = 1, 2, …) に対して t^k − x^k が t − x で割り切れることをみればよい^[3]。特に n-次多項式 p_n に対して q_n は n − 1 次である^[1]。

関連項目

• 第二測度（英語版）