複素数
の算術幾何平均が収束することは、以下によって証明できる。


となるように
の根号の符号を決めると約束したので、

である。
を
の階差とすれば


である。したがって、級数
は絶対収束する。すなわち、数列
は収束し、数列
は
と同じ値に収束する。
算術幾何平均と楕円積分の関係は以下によって証明できる。ただし、
は正の実数とする。

と置換すると、

と置換することによって、


となる。したがって、

が複素数である場合は、積分路
と実軸との間に(留数をもつ)極がないことを確かめなければならない。
,
とすれば、

これに
を代入すると

であり、
となるように幾何平均の根号の符号を決めると約束したので、積分路は極
の間(原点に近いところ)を通る。また、
,
とすると、

これに
を代入すれば

であるから、積分路は極
の間を通る。