算術幾何平均

数学において算術幾何平均（さんじゅつきかへいきん、Arithmetic-geometric mean）とは、2 つの複素数（しばしば正の実数）に対して算術平均（相加平均）と幾何平均（相乗平均）を繰り返し用いて作られる数列の極限のこと。

定義

${\displaystyle |\arg(b/a)|\neq \pi }$ である複素数 ${\displaystyle a,\ b}$ について

${\displaystyle a_{0}=a,\quad b_{0}=b}$
${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}\quad (n\geq 0)}$

と定めれば数列 ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ と ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ は同じ値に収束する。その極限を ${\displaystyle a,\ b}$ の算術幾何平均と呼ぶ。ただし、幾何平均 ${\displaystyle b_{n}}$ の根号の符号は算術平均 ${\displaystyle a_{n}}$ の側にあるものを選ぶものとする。

${\displaystyle M(a,b)=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$

${\displaystyle \Re (b/a)>0}$ の場合、算術幾何平均は次式の楕円積分で表される。

${\displaystyle M(a,b)={\frac {\pi }{2}}{\bigg /}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}}}$

${\displaystyle \Re (b/a)=0}$ の場合は、次式になる。

${\displaystyle {\begin{aligned}M(a,b)&={\frac {\pi }{2}}{\bigg /}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\cos ^{2}\theta +ab\sin ^{2}\theta }}}\\&={\frac {\pi }{2}}{\bigg /}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {a-b}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&={\frac {\pi }{2}}{\bigg /}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\left({\frac {a+b}{2}}\right){\sqrt {1-\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta }}}}\\\end{aligned}}}$

概要

${\displaystyle a,\ b}$ が正の実数である場合、

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\geq {\sqrt {a_{n}\cdot b_{n}}}=b_{n+1}}$

が成り立ち（相加・相乗平均の関係式）、

${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1},}$
${\displaystyle b_{n+1}\geq b_{n}}$

となることから

${\displaystyle a_{0}\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq b_{2}\geq b_{1}\geq b_{0}}$

という関係が成り立っている。{a_n} は下に有界な単調減少数列であり、{b_n} は上に有界な単調増加数列であるので、それぞれが収束する。{a_n} の極限を α とし、{b_n} の極限を β とすると定義の漸化式から

${\displaystyle \alpha ={\frac {\alpha +\beta }{2}}}$
${\displaystyle \beta ={\sqrt {\alpha \beta }}}$

が両立しなければならない。2 式とも整理すれば α = β となるので、2 つの数列 {a_n}, {b_n} は n → ∞ とした極限で同じ値に収束することが確かめられる。

性質

正の定数 ${\displaystyle c>0}$ に対し

${\displaystyle M(ca,cb)=cM(a,b)}$

が成り立つ。

この数列の収束は

${\displaystyle |a_{n+1}-b_{n+1}|={\frac {(a_{n}-b_{n})^{2}}{2({\sqrt {a_{n}}}+{\sqrt {b_{n}}})^{2}}}\leq C(a_{n}-b_{n})^{2}}$

を満たすので、1回のステップで精度が2倍になる。

また次のことが知られている。

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=M(1,{\sqrt {1-k^{2}}})\int _{0}^{1}{\frac {dz}{\sqrt {(1-z^{2})(1-k^{2}z^{2})}}}.}$

右辺の積分は、楕円積分であり簡単には積分できない。しかし、算術幾何平均の収束が速いので、数値計算による円周率の計算に用いられることがある。

証明

複素数 ${\displaystyle a,\ b}$ の算術幾何平均が収束することは、以下によって証明できる。

${\displaystyle a_{n}^{\;2}-b_{n}^{\;2}=(a_{n}+b_{n})(a_{n}-b_{n})}$
${\displaystyle a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}=\left({\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\right)^{2}-a_{n}b_{n}={\frac {(a_{n}-b_{n})^{2}}{4}}}$

${\displaystyle \left|a_{n}-b_{n}\right|<\left|a_{n}+b_{n}\right|}$となるように ${\displaystyle b_{n}}$ の根号の符号を決めると約束したので、

${\displaystyle {\frac {\left|a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}\right|}{\left|a_{n}^{\;2}-b_{n}^{\;2}\right|}}={\frac {\left|a_{n}-b_{n}\right|}{4\left|a_{n}+b_{n}\right|}}<{\frac {1}{4}}}$

である。${\displaystyle d_{n}}$ を ${\displaystyle a_{n}}$ の階差とすれば

${\displaystyle d_{n}=a_{n+1}-a_{n}=-{\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}}$
${\displaystyle {\frac {\left|d_{n+1}\right|}{\left|d_{n}\right|}}={\frac {\sqrt {\left|a_{n+2}^{\;2}-b_{n+2}^{\;2}\right|}}{\sqrt {\left|a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}\right|}}}<{\frac {1}{2}}}$

である。したがって、級数 ${\displaystyle \sum {d_{n}}}$ は絶対収束する。すなわち、数列 ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ は収束し、数列 ${\displaystyle \{b_{n}=2a_{n+1}-a_{n}\}}$ は ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ と同じ値に収束する。

算術幾何平均と楕円積分の関係は以下によって証明できる。ただし、${\displaystyle a,\ b}$ は正の実数とする。

${\displaystyle {\begin{aligned}I(a,b)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {(a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta )(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )}}}\\&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{{\cos ^{2}\theta }{\sqrt {(a^{2}+b^{2}\tan ^{2}\theta )(1+\tan ^{2}\theta )}}}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle x=\tan \theta }$ と置換すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}I(a,b)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}x^{2})(1+x^{2})}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}x^{2}+b^{2}x^{2}+b^{2}x^{4}+a^{2}}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {(a+b)^{2}x^{2}+(bx^{2}-a)^{2}}}}\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x{\sqrt {\left(\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\right)^{2}+\left(\displaystyle {\frac {bx^{2}-a}{2x}}\right)^{2}}}}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle t={\frac {bx^{2}-a}{2{\sqrt {ab}}\;x}}}$ と置換することによって、

${\displaystyle x={\sqrt {ab}}\;t+{\sqrt {ab+abt^{2}}},\quad dx=\left({\sqrt {ab}}+{\frac {\sqrt {ab}}{\sqrt {ab+abt^{2}}}}\right)dt={\frac {x}{\sqrt {1+t^{2}}}}dt}$
${\displaystyle {\begin{aligned}I(a,b)&={\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {\left(\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}+abt^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {\left(\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}+abt^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}}}\\&=I\left({\frac {a+b}{2}},{\sqrt {ab}}\right)\end{aligned}}}$

となる。したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}I(a,b)&=I(a_{1},b_{1})=\lim _{n\to \infty }I(a_{n},b_{n})=\lim _{n\to \infty }I\left(M(a,b),M(a,b)\right)\\&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {M(a,b)^{2}(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )}}}={\frac {\pi }{2M(a,b)}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle a,\ b}$ が複素数である場合は、積分路 ${\displaystyle t={\frac {bx^{2}-a}{2{\sqrt {ab}}\;x}}}$ と実軸との間に（留数をもつ）極がないことを確かめなければならない。 ${\displaystyle u=\Re \left(b/a\right)}$, ${\displaystyle v=\Im \left(b/a\right)}$ とすれば、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {t}{\frac {a+b}{2{\sqrt {ab}}}}}&={\frac {(b/a)x^{2}-1}{(1+b/a)x}}={\frac {(u+iv)x^{2}-1}{(1+u+iv)x}}\\&={\frac {(ux^{2}-1+ivx^{2})(1+u-iv)}{\left((1+u)^{2}+v^{2}\right)x}}\\&={\frac {(u+u^{2}+v^{2})x^{2}-(1+u)+ivx^{2}+iv}{(1+2u+u^{2}+v^{2})x}}\\\end{aligned}}}$

これに ${\displaystyle x^{2}={\frac {1+u}{u+u^{2}+v^{2}}}}$ を代入すると

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {t}{\frac {a+b}{2{\sqrt {ab}}}}}&={\frac {iv{\frac {1+2u+^{2}+v^{2}}{u^{2}+v^{2}+u}}}{(1+2u+u^{2}+v^{2}){\sqrt {\frac {1+u}{u+u^{2}+v^{2}}}}}}\\&={\frac {iv}{\sqrt {(1+u)(u+u^{2}+v^{2})}}}\\\end{aligned}}}$

であり、${\displaystyle u>0}$ となるように幾何平均の根号の符号を決めると約束したので、積分路は極 ${\displaystyle \pm i\,{\frac {a+b}{2}}}$ の間（原点に近いところ）を通る。また、${\displaystyle u'=\Re \left({\sqrt {b/a}}\right)}$, ${\displaystyle v'=\Im \left({\sqrt {b/a}}\right)}$ とすると、

${\displaystyle {\begin{aligned}t&={\frac {{\sqrt {b/a}}\;x^{2}-{\sqrt {a/b}}}{2x}}={\frac {(u'+iv')^{2}x^{2}-1}{(u'+iv')x}}\\&={\frac {(u'^{2}+v'^{2})(u'+iv')x^{2}-(u'-iv')}{2(u'^{2}+v'^{2})x}}\\\end{aligned}}}$

これに ${\displaystyle x^{2}={\frac {1}{u'^{2}+v'^{2}}}}$ を代入すれば

${\displaystyle {\begin{aligned}t&={\frac {iv'}{\sqrt {u'^{2}+v'^{2}}}}\\\end{aligned}}}$

であるから、積分路は極 ${\displaystyle \pm {i}}$ の間を通る。

算術調和平均

${\displaystyle |\arg(b/a)|\neq \pi }$ である複素数 ${\displaystyle a,\ b}$ について算術平均と調和平均を繰り返して得られる数列

${\displaystyle a_{0}=a,\quad b_{0}=b}$
${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\quad b_{n+1}={\frac {2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}}\quad (n\geq 0)}$
の極限について ${\displaystyle \operatorname {AHM} (a,b)=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$

である。つまり、算術調和平均は ${\displaystyle a,\ b}$ の幾何平均に等しい。このことは

${\displaystyle a_{n+1}b_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\cdot {\frac {2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}}=a_{n}b_{n}}$
${\displaystyle \operatorname {AHM} (a,b)=\lim _{n\to \infty }{\sqrt {a_{n}b_{n}}}={\sqrt {ab}}}$

から明らかである。

調和幾何平均

${\displaystyle |\arg(b/a)|\neq \pi }$ である複素数 ${\displaystyle a,\ b}$ について幾何平均と調和平均を繰り返して得られる数列

${\displaystyle a_{0}=a,\quad b_{0}=b}$
${\displaystyle a_{n+1}={\frac {2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}},\quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}\quad (n\geq 0)}$
の極限について ${\displaystyle \operatorname {HGM} (a,b)=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$

である。つまり、調和幾何平均と算術幾何平均の積は幾何平均の自乗に等しい。このことは、${\displaystyle a_{n},\ b_{n}}$ を逆数にして

${\displaystyle (1/a_{n+1})=(1/a_{n})+(1/b_{n}),\quad (1/b_{n+1})={\sqrt {(1/a_{n})(1/b_{n})}}}$
${\displaystyle \operatorname {HGM} (a,b)={\frac {1}{\operatorname {AGM} \left({\frac {1}{a}},{\frac {1}{b}}\right)}}={\frac {ab}{\operatorname {AGM} \left(b,a\right)}}}$

から明らかである。

関連項目

• 平均