結晶点群

結晶点群（英: Crystallographic point group）とは、結晶において許される対称操作の集まりがつくる群（点群）のこと。ただしこの対称操作には並進操作は含まれない。結晶点群は32種類存在する。

分子と結晶の点群

→詳細は「en:Crystallographic restriction theorem」を参照

一般に点群は分子対称性など有限サイズを考える場合に用いられることが多いが、結晶のような無限に続く構造に適用すると対称操作に制限が加わる。

有限サイズの図形の場合、その回転軸には制限は無い。たとえば正二十面体の場合は5回回転軸が存在する。しかし結晶のような周期的な構造の場合、許されるのは1回回転軸、2回回転軸、3回回転軸、4回回転軸、6回回転軸に限られ、5回回転軸などは存在し得ないことが分かっている。

このように回転軸を1回、2回、3回、4回、6回に制限して得られた点群を結晶点群と呼ぶ。

空間群と結晶点群

空間群Gの部分群である並進群Tは正規部分群であり、商群（または因子群、剰余群）G/Tは結晶点群と同型となっている。

記号

結晶点群は成分の対称性によって表され、結晶学者や鉱物学者、物理学者などによって幾つかの標準的な記号が使われている。

→以下の2つの記法の対応については「結晶系」を参照

シェーンフリース記号

→詳細は「シェーンフリース記号」および「en:Point groups in three dimensions」を参照

シェーンフリース記号では、結晶点群は以下のように添字付きの文字として表される。

• C_n は巡回群に対して用いられ、n回回転軸を持つことを表している。C_nh は C_n の回転軸に対して垂直な面に鏡面があることを示し、C_nv は C_n の回転軸に対して平行な面に鏡面があることを示している。
• S_2n は回映に対して用いられ、2n回回映軸を持つことを表している。
• D_n は二面体群に対して用いられ、n回回転軸に垂直な面にn二倍軸を持つことを表している。D_nh は n回回転軸に対して垂直な面に鏡面があることを示し、D_nd は平行な面に鏡面があることを示している。
• T は三角錐に対して用いられ、三角錐の対称性を持つことを示している。T_d は回映を含み、T は回映を含まず、T_h は T に反転が付加されたことを示す。
• O は八面体に対して用いられ、八面体の対称性を持つことを示している。O_h は回映を含んでいることを意味する。

n	1	2	3	4	6
Cn	C1	C2	C3	C4	C6
Cnv	C1v=C1h	C2v	C3v	C4v	C6v
Cnh	C1h	C2h	C3h	C4h	C6h
Dn	D1=C2	D2	D3	D4	D6
Dnh	D1h=C2v	D2h	D3h	D4h	D6h
Dnd	D1d=C2h	D2d	D3d	D4d	D6d
S2n	S2	S4	S6	S8	S12

D_4d と D_6d はnが8と12の回映を含むため、実際には存在し得ない。表の27の点群に T, T_d, T_h, O, O_h を加えて32の点群が構成される。

ヘルマン・モーガン記号

→詳細は「ヘルマン・モーガン記号」を参照

ヘルマン・モーガン記号の略記号は結晶点群や空間群で用いられる。

結晶系	群
立方晶系	23	m3		432	43m	m3m
六方晶系	6	6	6⁄m	622	6mm	6m2	6⁄mmm
三方晶系	3	3		32	3m	3m
正方晶系	4	4	4⁄m	422	4mm	42m	4⁄mmm
単斜晶系 直方晶系	2		2⁄m	222	m	mm2	mmm
三斜晶系	1	1

部分群としての包含関係を表すハッセ図。(さらに、群の位数が等しいものは同じ高さに配置してある。下から 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48 。)

参考文献

• 柳瀬章『空間群のプログラム TSPACE』裳華房、1995年9月。ASIN 4785329084。ISBN 4-7853-2908-4。 NCID BN13211321。OCLC 54737232。全国書誌番号:96024173。
• 犬井鉄郎、田辺行人、小野寺嘉孝『応用群論―群表現と物理学―』裳華房、1980年10月1日。ASIN 4785328010。ISBN 4-7853-2801-0。 NCID BN00764703。全国書誌番号:81000612。

関連項目

• 3次元における点群
• 結晶学的制限定理（英語版）