計量テンソル (一般相対論)

一般相対性理論における計量テンソル（けいりょうテンソル、英: metric tensor）とは、時空の局所的な曲がり具合、重力ポテンシャルを表すテンソルである。計量テンソルは単にメトリックと言う。

一般相対性理論
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\tfrac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$
アインシュタイン方程式
入門 数学的定式化 関連書籍
基本概念 特殊相対性理論 等価原理 世界線 · リーマン幾何学 計量テンソル 現象 ケプラー問題（英語版） · レンズ · 重力波 慣性系の引きずり · 測地効果（英語版） 事象の地平面 · 特異点 ブラックホール 方程式 線形化重力（英語版） PPN形式 アインシュタイン方程式 フリードマン方程式 ADM形式（英語版） BSSN形式（英語版） 高度な理論 カルツァ＝クライン理論 量子重力理論 解（英語版） シュヴァルツシルト ライスナー・ノルドシュトロム · ゲーデル カー · カー・ニューマン カスナー（英語版） · Taub-NUT（英語版） · ミルン・モデル（英語版） ロバートソン・ウォーカー · pp波（英語版） 科学者 アインシュタイン · ミンコフスキー · エディントン ルメートル · シュヴァルツシルト ロバートソン · カー · フリードマン チャンドラセカール · ホーキング
表 話 編 歴

定義

計量テンソルは一般的にg_μνと表される。計量テンソルは時間の関数なので、特殊相対論で表されていた計量テンソル${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$ではなく、一般化し、${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}g_{00}&g_{01}&g_{02}&g_{03}\\g_{10}&g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{20}&g_{21}&g_{22}&g_{23}\\g_{30}&g_{31}&g_{32}&g_{33}\\\end{pmatrix}}}$と表す^[1]。これは、空間に重力を適用するとき、0と1だけでは、空間の曲率が表せないため、一般化して行列の中がテンソルとなっている^[1]。一般化した計量テンソルは対象テンソルなので、01と10や12と21などμとνを入れ替えても同じな成分は無視してもよい^[1]。そして計量テンソルは単位テンソルの添え字を上げ下げしたものであり、同様に計量テンソルも右にあるテンソルやベクトルの添え字を上げる役割を持つ。^[2]例として、A_μ = g_μνA^μと表す^[2]。

性質として、計量テンソルは二階微分するとリーマン曲率テンソルになる^[1]。