頂点推移グラフ

数学のグラフ理論の分野における頂点推移グラフ（ちょうてんすいいグラフ、英: vertex-transitive graph）とは、与えられた任意の二頂点 v₁ および v₂ に対して

${\displaystyle f(v_{1})=v_{2}\ }$

であるような自己同型（英語版）

${\displaystyle f:V(G)\rightarrow V(G)\ }$

が存在するグラフ G のことを言う。

言い換えれば、グラフが頂点推移的であるとは、その自己同型群が各頂点の上で可移的（transitively）に作用することを言う^[1]。グラフが頂点推移的であるための必要十分条件は、その補グラフが頂点推移的であることである（なぜならば、それらの群作用は等しいため）。

孤立頂点を含まない対称グラフは、頂点推移的である。また、頂点推移グラフは正則である。しかし、すべての頂点推移グラフが対称であるとは限らない（例えば、切頂四面体の辺から成るグラフ）。また、すべての正則グラフが頂点推移的であるとは限らない（例えば、フルフトグラフ（英語版））。

有限の例

切頂四面体の辺から成るグラフは、頂点推移的である（ケイリーグラフでもある）が、対称でない。

対称グラフ（例えば、ピーターセングラフ、ヒーウッドグラフ、正多面体の頂点と辺から成るグラフなど）であれば、有限の頂点推移グラフである。有限のケイリーグラフ（例えば、キューブ連結サイクル（英語版）など）もまた、頂点推移的である。なぜならば、それは半正多面体の頂点と辺から成るため（それらのうち対称であるものは二つしかないが）である。Potočnik、Spiga および Verret は、最大 1280 個の頂点を含む全ての連結立体頂点推移グラフの調査を行った^[2]。

性質

頂点推移グラフの辺連結度（英語版）は、その次数 d に等しい。一方、その頂点連結度（英語版）は少なくとも 2(d+1)/3 である^[3]。そのグラフの次数が 4 以下であるか、グラフが辺推移的であるか、あるいは最小のケイリーグラフであるなら、その頂点連結度も次数 d と等しくなる^[4]。

無限の例

無限な頂点推移グラフは次を含む:

• 無限路（両方向に無限）
• 無限正則木。例えば、自由群のケイリーグラフ
• 正多角形によるタイル張り（英語版）を含む、平面一様充填（英語版）のグラフ（平面充填の一覧（英語版）を参照されたい）
• 無限ケイリーグラフ
• ラドグラフ（英語版）

二つの可算な頂点推移グラフが準等距離同型（quasi-isometric）であるとは、それらの距離函数の比が上下ともに有界であることを言う。有名な予想に、全ての無限な頂点推移グラフはケイリーグラフと準等距離同型である、というものがあったが、その反例はディエステルとリーダー（英語版）によって提唱され^[5]、近年、エスキン、フィッシャーおよびホワイトによってその確証が得られた^[6]。

関連項目

• 辺推移グラフ
• ロヴァース予想（英語版）
• 半対称グラフ