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ヴァン・オーベルの定理

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ヴァン・オーベルの定理
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ヴァン・オーベルの定理(Van Aubel's theorem)とは四角形に関する幾何学の定理である。1878年の、ベルギーの数学者 Henricus Hubertus Van Aubel の発表にちなんで命名された[1]

オーベルの定理ともいう。

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ヴァン・オーベルの定理の図示。

定理

任意の四角形の各辺に外接する正方形で、対向する正方形の重心を結んだ2線分は、長さが等しく、直交する。

証明

要約
視点

四角形 ABCD に対して,頂点 A を原点 O とする。ベクトル AB複素数 2a に、ベクトル BC を複素数 2b に、ベクトル CD を複素数 2c に、ベクトル DA を複素数 2d に対応させる。ここで複素数の係数2は計算上の便宜的なものである。また、正方形の中心については、ベクトル AP を複素数 p に、ベクトル AQ を複素数 q に、ベクトル AR を複素数 r に、ベクトル AS を複素数 s に対応させる。四角形 ABCD は閉じているから、ベクトルを計算すると

つまり、

となる。この条件で証明することになる。 点 P は点 A から点 B に向かって半分進み、90度方向を変えて半分だけ進むから、複素数 p は、

となる。ここに、i虚数単位で、i² = -1 である。複素数は極形式 (r, θ) でも表現され、

であるから、ai をかけるということは半径 r = 1、偏角 π/2 の複素数をかけるということであり、拡大縮小をともなわない回転移動ということになる。

同様にして、複素数 q,r,s は次のようになる。

Q から点 S に向かうベクトルを A 、点 P から点 R に向かうベクトルを B とすると,As - qBr - p であるから、

となる。証明すべきは、線分 QS と線分 PR の長さが等しく、互いに直交していることであるから、複素数 AB の関係が、

を満たすことである。または、この式の両辺に i をかけて整理すると、

となり、この式で証明してもよい。実際に計算すると、

となる。

なお、フィンスラー・ハドヴィッガーの定理を用いた証明もある。

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性質

  • 四角形の対角線の中点と、ヴァン・オーベルの定理の直交する2線分の中点は共円である[2]

一般化

ダオ・タイン・オアイ(Dao Thanh Oai)は、ヤコビの定理のような形で、直交性を拡張した[3]

任意の四角形ABCDについて、A'AB = ∠A'BA, ∠B'BC = ∠B'CB, ∠C'CD = ∠C'DC, ∠D'DA = ∠D'ADとなるように点A', B', C', D'を配置したとき、A'C' B'D' が成立する。

Mathematical Gazetteでは、ひし形平行四辺形への拡張も示されている[4][5]

出典

参考文献

関連項目

外部リンク

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