予想は代数体K 上の楕円曲線E に伴う数論的データを E の ハッセ・ヴェイユの L-関数L(E,s) の s=1 における振る舞いに関係づける。より具体的には、E の点のなすアーベル群E(K) のランクは L(E,s) の s=1 における零点の位数であり、s=1 における L(E,s) のテイラー展開における最初の 0 でない係数は K 上の E に付属しているより精密な数論的データによって与えられる、ということが予想されている (Wiles 2006)。
楕円曲線上の有理点(x 座標も y 座標も有理数になる点)は、加法 '+' を定義することができる。楕円曲線 E 上の2点 P=(x1,y1), Q=(x2,y2) に対し、直線 PQ と E との交点と x 軸に関して対称な位置にある点 (x3,y3)を P+Q で表される点と定義する。(詳細は楕円曲線の記事を参照)
Heath-Brown,D. R.(2004).“The Average Analytic Rank of Elliptic Curves”.Duke Mathematical Journal122(3): 591–623.doi:10.1215/S0012-7094-04-12235-3.
Arthaud,Nicole(1978).“On Birch and Swinnerton-Dyer's conjecture for elliptic curves with complex multiplication”.Compositio Mathematica37(2): 209–232.MR504632.
Birch,Bryan;Swinnerton-Dyer,Peter(1965).“Notes on Elliptic Curves (II)”.J. Reine Angew. Math.165(218): 79–108.doi:10.1515/crll.1965.218.79.
Breuil,Christophe;Conrad,Brian;Diamond,Fred;Taylor,Richard(2001).“On the Modularity of Elliptic Curves over Q: Wild 3-Adic Exercises”.Journal of the American Mathematical Society14(4): 843–939.doi:10.1090/S0894-0347-01-00370-8.
Deuring,Max(1941).“Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkörper”.Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg14(1): 197–272.doi:10.1007/BF02940746.
Gross,Benedict H.;Zagier,Don B.(1986).“Heegner points and derivatives of L-series”.Inventiones Mathematicae84(2): 225–320.doi:10.1007/BF01388809.MR0833192.
Kolyvagin,Victor(1989).“Finiteness of E(Q) and X(E,Q) for a class of Weil curves”.Math. USSR Izv.32: 523–541.doi:10.1070/im1989v032n03abeh000779.
Mordell,Louis(1922).“On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees”.Proc. Cambridge Phil. Soc.21: 179–192.
Nekovář,Jan(2009).“On the parity of ranks of Selmer groups IV”.Compositio Mathematica145(6): 1351–1359.doi:10.1112/S0010437X09003959.
Rubin,Karl(1991).“The 'main conjectures' of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields”.Inventiones Mathematicae103(1): 25–68.doi:10.1007/BF01239508.Zbl0737.11030.
Skinner,Christopher;Urban,Éric(2014).“The Iwasawa main conjectures for GL2”.Inventiones Mathematicae195(1): 1–277.doi:10.1007/s00222-013-0448-1.
Tunnell,Jerrold B.(1983).“A classical Diophantine problem and modular forms of weight 3/2”.Inventiones Mathematicae72(2): 323–334.doi:10.1007/BF01389327.Zbl0515.10013.
Wiles,Andrew(1995).“Modular elliptic curves and Fermat's last theorem”.Annals of Mathematics. Second Series141(3): 443–551.ISSN0003-486X.JSTOR2118559.MR1333035.