កុំផ្លិចឆ្លាស់

ក្នុងគណិតវិទ្យា​ ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានផ្តល់ឲ្យដោយការប្តូរសញ្ញានៃផ្នែកនិម្មិត។

ធរណីមាត្រនៃ ${\displaystyle z\,}$ និងកុំផ្លិចឆ្លាស់របស់វា ${\displaystyle {\bar {z}}\,}$ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច

និយមន័យ

ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃចំនួនកុំផ្លិច${\displaystyle z=a+bi\,}$, ដែលa និងb ជាចំនួនពិត គេបាន ${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi\,}$ ។ ហើយ ${\displaystyle {\bar {z}}\,}$ អានថា ${\displaystyle z\,}$ បារ។

ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់រក្សាតម្លៃស្មើនឹងចំនួនកុំផ្លិចរបស់វា មិនផ្លាស់ប្តូរទេ (${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|}$) ។

${\displaystyle {\begin{array}{r|ccc}c:&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\&z&\longmapsto &{\overline {z}}\end{array}}}$

ដូច្នេះកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃចំនួនកុំផ្លិច

${\displaystyle z=a+ib\,}$

(ដែល${\displaystyle a}$ និង${\displaystyle b}$ ជាចំនួនពិត)គឺ

${\displaystyle {\overline {z}}=a-ib\,}$

ជាទូទៅ ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់ត្រូវបានគេតាងដោយ ${\displaystyle {\bar {z}}\,}$ ​ឬ ${\displaystyle z^{*}\,}$ ។

ឧទាហរណ៍

• ${\displaystyle {\overline {(3-2i)}}=3+2i}$
• ${\displaystyle {\overline {7}}=7}$
• ${\displaystyle {\overline {i}}=-i}$

ជាទូទៅគេគិតពីចំនួនកុំផ្លិចជាចំណុចនៅក្នុងប្លង់កុំផ្លិចជាមួយប្រព័ន្ធកូអរដោនេដេកាត។ អ័ក្សអាប់ស៊ីស${\displaystyle x\,}$តំណាងឲ្យផ្នែកពិត និងអ័ក្សអរដោនេ ${\displaystyle y\,}$ផ្នែកនិម្មិតដែលរួមមានឯកតានិម្មិត ${\displaystyle i\,}$។

ក្នុងទម្រង់ប៉ូលែរចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់នៃ ${\displaystyle re^{i\phi }\,}$ គឺ${\displaystyle re^{-i\phi }\,}$ ។ រូបមន្តនេះត្រូវបានផ្ទៀតផ្ទាត់ដោយរូបមន្តអឺលែរ។ ចំនែកឯក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រវិញ បើ ${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )\,}$ នោះផ្នែកពិតនៃ ${\displaystyle z\,}$គឺ ${\displaystyle r\cos \theta \,}$ ។

ជាទូទៅបើ ${\displaystyle z=a+b\,\mathrm {i} \in \mathbb {C} }$ គេបាន៖

• ${\displaystyle a=\mathrm {Re} (z)={\frac {1}{2}}(z+{\bar {z}})}$

• ${\displaystyle b=\mathrm {Im} (z)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(z-{\bar {z}})}$

• ${\displaystyle z\cdot {\bar {z}}=|z|^{2}=a^{2}+b^{2}}$

លក្ខណៈនៃចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់

គេមានគ្រប់ចំនួនកុំផ្លិច${\displaystyle z}$ និង${\displaystyle w}$

ក)    ${\displaystyle {\overline {(z+w)}}={\overline {z}}+{\overline {w}}\!\ }$

ខ)    ${\displaystyle {\overline {(z-w)}}={\overline {z}}-{\overline {w}}\!\ }$

គ)    ${\displaystyle {\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}\!\ }$

ឃ)    ${\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}}$ បើ ${\displaystyle w}$ មិនសូន្យ

ង)    ${\displaystyle {\overline {z}}=z\!\ }$ ប្រសិនបើ${\displaystyle z}$ជាចំនួនពិតសុទ្ធ

ច)    ${\displaystyle {\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}}$ គ្រប់ចំនួនគត់រឺឡាទីប ${\displaystyle n}$

ឆ)    ${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|}$

ជ)    ${\displaystyle {\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}={\overline {z}}z}$

ឈ)    ${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}}$ បើ ${\displaystyle z}$ មិនសូន្យ

ញ)    ${\displaystyle \left({\overline {e^{z}}}\right)=e^{\overline {z}}}$

ដ)    ${\displaystyle \left({\overline {\sin {z}}}\right)=\sin {\overline {z}}}$

ឋ)    ${\displaystyle \left({\overline {\cos {z}}}\right)=\cos {\overline {z}}}$

ឌ)    ${\displaystyle \left({\overline {\sinh {z}}}\right)=\sinh {\overline {z}}}$

ឍ)    ${\displaystyle \left({\overline {\cosh {z}}}\right)=\cosh {\overline {z}}}$

ណ)    ${\displaystyle \left({\overline {\ln {z}}}\right)=\ln {\overline {z}}}$